Um ponto material se move numa curva definida pela parábola
. Se a componente x da velocidade é
, onde t é dado em segundos, Determine a distância do ponto de origem O quando
. Em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que se move numa parábola definida por
. A velocidade na direção x é dada por
m/s, onde t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto até a origem O quando
segundo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo, como integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a posição x em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade.
Integrando ambos os lados em relação a t:
Como no tempo
, a posição
, a constante C é zero. Então:
Passo 3
Agora que temos
em função do tempo, vamos encontrar
usando a equação da parábola:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as posições x e y quando
segundo.
Para x:
Para y:
Passo 5
Finalmente, para achar a distância do ponto até a origem O, usamos o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Resposta
A distância do ponto até a origem quando
é aproximadamente
.