Um ponto material se move numa curva definida pela parábola . Se a componente x da velocidade é , onde t é dado em segundos, Determine a distância do ponto de origem O quando . Em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que se move numa parábola definida por . A velocidade na direção x é dada por m/s, onde t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto até a origem O quando segundo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo, como integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a posição x em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade.
Integrando ambos os lados em relação a t:
Como no tempo , a posição , a constante C é zero. Então:

Passo 3

Agora que temos em função do tempo, vamos encontrar usando a equação da parábola:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular as posições x e y quando segundo.
Para x:
Para y:

Passo 5

Finalmente, para achar a distância do ponto até a origem O, usamos o teorema de Pitágoras:
â
Substituindo os valores:
â

Resposta

A distância do ponto até a origem quando é aproximadamente .

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onde e estão dados em metros e em segundos.
Achar:
A fase para , para e .
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