Um ponto material se move numa curva definida pela parábola y=0.5 x^2. Se a componente x da velocidade é vx=(5 t) m / s, onde t é dado em segundos, Determine a distância do ponto de origem O quando t=1 s. Em t=0 x=0 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto que se move numa parábola definida por y=0.5, x^2. A velocidade na direção x é dada por vx = 5, t m/s, onde t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a distância desse ponto até a origem O quando t = 1 segundo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e cálculo, como integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a posição x em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então para achar a posição, vamos integrar a velocidade.
vx = dxdt = 5, t
Integrando ambos os lados em relação a t:
integral dx = integral 5, t, dt
x = 52, t^2 + C
Como no tempo t = 0, a posição x = 0, a constante C é zero. Então:
x = 52, t^2

Passo 3

Agora que temos x em função do tempo, vamos encontrar y usando a equação da parábola:
y = 0.5, x^2
Substituindo x:
y = 0.5 ( 52, t^2 )^2
y = 0.5 times 254, t^4
y = 258, t^4

Passo 4

Agora, vamos calcular as posições x e y quando t = 1 segundo.
Para x:
x = 52 times (1)^2 = 52 = 2.5, m
Para y:
y = 258 times (1)^4 = 258 = 3.125, m

Passo 5

Finalmente, para achar a distância do ponto até a origem O, usamos o teorema de Pitágoras:
Distância = raizx^2 + y^2 â
Substituindo os valores:
Distância = raiz(2.5)^2 + (3.125)^2 = raiz6.25 + 9.765625 = raiz16.015625 approx 4.00195, m â

Resposta

A distância do ponto até a origem quando t = 1, s é aproximadamente 4.00, m.

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