Um raio incide sobre uma das faces de um cubo de aresta e índice de refração 1,33 que está rodeado por ar. O raio refratado sofre uma refração total no interior do cubo para emergir na faze oposta à da entrada.
© Qual é o indice de refraçăo limite para que aconteça entre processo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo com aresta e índice de refração , rodeado por ar. Um raio de luz incide em uma das faces do cubo, refrata entrando no cubo e sofre refração total dentro dele, emergindo na face oposta. A parte © quer saber qual é o índice de refração limite para que esse processo de refração total ocorra. Vamos precisar usar conceitos de refração e refração total, principalmente a Lei de Snell.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Snell, que relaciona os ângulos de incidência e refração quando a luz passa de um meio para outro:
Aqui, é o índice de refração do ar (que é aproximadamente 1) e é o índice do cubo .

Passo 3

Para ocorrer refração total interna, precisamos que o ângulo de refração seja de 90 graus, ou seja, a luz não sai mais do cubo, mas reflete totalmente de volta. Isso acontece quando o ângulo de incidência atinge o chamado ângulo crítico ( ). A relação para o ângulo crítico é:
Mas como é o índice do meio de onde a luz está vindo (neste caso, o cubo), e é o meio para onde a luz quer ir (ar), a fórmula fica:
Como e , substituímos:

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo crítico , tiramos o arco seno desse valor:

Passo 5

Mas a questão pede o índice de refração limite para que a refração total ocorra. Ou seja, queremos saber qual deve ser o menor índice de refração do cubo para que, considerando o ângulo máximo possível (no caso, até 90 graus na face oposta), a refração total seja assegurada. Para isso, rearranjamos a fórmula:
Assumindo que o ângulo crítico seja (limite), temos:
Mas isso não faz sentido físico, já que precisamos de um índice maior que 1 para ter refração total. Então, na verdade, o índice de refração limite é aquele que garante que o ângulo crítico permita a refração total dentro do cubo para a luz emergir na face oposta, considerando a geometria do cubo.

Passo 6

Considerando a geometria do cubo, o raio de luz percorre a diagonal interna. A diagonal do cubo de aresta é . Para que ocorra refração total, o ângulo de incidência na face oposta deve ser maior ou igual ao ângulo crítico. Assim, o índice de refração limite é tal que:

Resposta

O índice de refração limite para que ocorra refração total no interior do cubo é aproximadamente .

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