Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo OX, sendo sua função horária em função do tempo dada por:
Determine: b) A velocidade escalar e a aceleração escalar no instante
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Determine: b) A velocidade escalar e a aceleração escalar no instante
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve Movimento Harmônico Simples (MHS). O problema nos dá a função horária da posição de um ponto material em função do tempo:
Nosso objetivo é determinar a velocidade escalar e a aceleração escalar desse ponto no instante $ t = 1 $ segundo. Para isso, precisamos utilizar os conceitos de derivadas no contexto do MHS.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade escalar. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição em relação ao tempo.
Então, vamos derivar $ x(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Calculando a derivada da função posição:
A derivada de $ \cos(u) $ em relação a $ t $ é $ -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aqui, $ u = 2\pi t + \pi $, então $ \frac{du}{dt} = 2\pi $.
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração escalar, que é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Já temos $ v(t) = -4\pi \cdot \sin(2\pi t + \pi) $, então vamos derivar isso.
Passo 5
Calculando a derivada da função velocidade:
A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ t $ é $ \cos(u) \cdot \frac{du}{dt} $. Aqui, $ u = 2\pi t + \pi $, então $ \frac{du}{dt} = 2\pi $.
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos $ t = 1 $ s nas expressões de $ v(t) $ e $ a(t) $ para encontrar os valores desejados.
Primeiro, para a velocidade:
Sabemos que $ \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi) = 0 $, então:
Agora, para a aceleração:
Sabemos que $ \cos(2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1 $, então:
Resposta
No instante $ t = 1 $ s, a velocidade escalar é $ 0 , m/s $ e a aceleração escalar é $ 8\pi^2 , m/s^2 $.