0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). Calcular P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! A gente tem um ponto que está na reta determinada pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem o ponto pertencer a essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção da reta AB = B - A = (4 - 3, -3 - (-1), -1 - 4) = (1, -2, -5) . Esse vetor mostra a direção em que a reta está indo e é calculado subtraindo as coordenadas de das de .
Então, o vetor direção é .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 3 + t cdot 1 y = -1 + t cdot (-2) z = 4 + t cdot (-5) usando o ponto e o vetor direção . As equações paramétricas são:
Aqui, é um parâmetro que varia e nos dá todos os pontos da reta.

Passo 4

Sabemos que o ponto 2 = 3 + t cdot 1 2 - 3 = t t = -1 tem a coordenada . Vamos usar a equação de para encontrar o valor de :
Então, o valor de é .

Passo 5

Com o valor de y = -1 + (-1) cdot (-2) = -1 + 2 = 1 z = 4 + (-1) cdot (-5) = 4 + 5 = 9 , vamos substituir nas equações de e para encontrar seus valores:

Resposta

O ponto é .

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