Em um ponto de uma placa fina de aço em tensão plana ( sigmaz=taux z =tauy z=0 ), tem-se varepsilonx=800 mu, varepsilony=-400 mu e gammax y=200 mu. Para essa placa de aço, E=200 GPa e nu=0,3. Determine: As tensões sigmax, sigmay e taux y nesse ponto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as tensões sigmax, sigmay e tauxy em um ponto de uma placa fina de aço que está sob tensão plana. Isso envolve conceitos de tensão e deformação na teoria da elasticidade, mais especificamente utilizando a Lei de Hooke para condições de tensão plana. Precisamos usar os valores dados de deformações ( varepsilonx, varepsilony, gammaxy), o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson nu para calcular as tensões correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como relacionar as deformações às tensões usando a Lei de Hooke para tensão plana. As fórmulas são:
sigmax = E1 - nu^2 (varepsilonx + nu varepsilony)
sigmay = E1 - nu^2 (varepsilony + nu varepsilonx)
tauxy = E2(1 + nu) gammaxy
Essas equações nos permitem calcular as tensões a partir das deformações conhecidas.

Passo 3

Vamos calcular sigmax primeiro. Substituindo os valores fornecidos:
sigmax = 200 times 10^91 - 0,3^2 (800 times 10^-6 + 0,3 times (-400 times 10^-6))
Calculando o denominador:
1 - 0,09 = 0,91
Agora, dentro dos parênteses:
800 times 10^-6 + 0,3 times (-400 times 10^-6) = 800 times 10^-6 - 120 times 10^-6 = 680 times 10^-6
Então:
sigmax = 200 times 10^90,91 times 680 times 10^-6
sigmax approx 220,879 times 10^9 times 680 times 10^-6
sigmax approx 150 times 10^6 , Pa , ou , 150 , MPa

Passo 4

Agora, vamos calcular sigmay usando a mesma abordagem:
sigmay = 200 times 10^91 - 0,3^2 (-400 times 10^-6 + 0,3 times 800 times 10^-6)
Dentro dos parênteses:
-400 times 10^-6 + 240 times 10^-6 = -160 times 10^-6
Então:
sigmay = 200 times 10^90,91 times (-160) times 10^-6
sigmay approx 220,879 times 10^9 times (-160) times 10^-6
sigmay approx -35,34 times 10^6 , Pa , ou , -35,34 , MPa

Passo 5

Por fim, vamos calcular tauxy:
tauxy = 200 times 10^92(1 + 0,3) times 200 times 10^-6
Calculando o denominador:
2(1 + 0,3) = 2,6
Então:
tauxy = 200 times 10^92,6 times 200 times 10^-6
tauxy approx 76,923 times 10^9 times 200 times 10^-6
tauxy approx 15,385 times 10^6 , Pa , ou , 15,385 , MPa

Resposta

As tensões no ponto são:
sigmax = 150 , MPa, sigmay = -35,34 , MPa, tauxy = 15,385 , MPa

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