(1,2 pontos) Questão 4 - Encontre a solução particular do PVI dado por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de equações diferenciais, especificamente as equações separáveis. Isso significa que vamos manipular a equação para separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Podemos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por
:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a fração dentro da integral:
Passo 5
Agora, calculamos as integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito:
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo e
na equação:
Substituindo
Passo 7
Substituímos o valor de
na equação geral:
Essa é a solução particular da EDO fornecida com a condição inicial
. Note que a solução está implícita e pode não ser possível isolar
explicitamente em termos de
usando métodos elementares.
Resposta
A solução particular do PVI é dada implicitamente por:
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a)
b)
c)
a)
b)
c)
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Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.