(1,2 pontos) Questão 4 - Encontre a solução particular do PVI dado por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar uma solução particular da EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada por:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de equações diferenciais, especificamente as equações separáveis. Isso significa que vamos manipular a equação para separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Podemos fazer isso dividindo ambos os lados da equação por :
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a fração dentro da integral:

Passo 5

Agora, calculamos as integrais:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito:
Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e na equação:

Passo 7

Substituímos o valor de na equação geral:
Essa é a solução particular da EDO fornecida com a condição inicial . Note que a solução está implícita e pode não ser possível isolar explicitamente em termos de usando métodos elementares.

Resposta

A solução particular do PVI é dada implicitamente por:

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a)
b)
c)
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