(2,5 pontos) Esboce a região limitada pela parábola
, pela reta tangente a esta parábola em
e pela reta
, e calcule sua área.
Dado: a reta tangente a
em
é a reta
.
Dado: a reta tangente a
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar, ou seja, desenhar, a região que está limitada por três curvas diferentes:
- A parábola
. - A reta tangente à parábola no ponto
, que é . - A reta
, que é o eixo .
Depois de entender isso, vamos calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção entre curvas, e cálculo, especificamente integrais para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram umas com as outras. Isso é importante para saber os limites de integração na hora de calcular a área.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola
e a reta tangente
.
Igualando as duas equações:
Então, as duas curvas se encontram apenas no ponto
, como já sabemos que a reta é tangente à parábola nesse ponto.
Agora, vamos encontrar onde a parábola e a reta tangente intersectam o eixo
(
).
Para a parábola:
Então, ela cruza o eixo
em
.
Para a reta tangente:
Então, a reta tangente cruza o eixo
em
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar a região que queremos calcular a área.
- A parábola
começa no ponto e sobe para cima. - A reta tangente
cruza o eixo em e toca a parábola apenas no ponto . - A reta
é o eixo .
A região limitada por essas curvas fica entre
e
. Entre esses pontos, a parábola está abaixo da reta tangente.
Passo 4
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integração definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas, de
a
, é:
Onde
é a função que está acima e
a que está abaixo no intervalo considerado.
No nosso caso, de
a
, a parábola
está abaixo da reta
. Porém, como estamos considerando
como limite inferior, vamos focar na diferença entre a reta tangente e a parábola de
a
.
Passo 5
Vamos dividir o cálculo da área em duas partes:
- De
a , a área está entre a parábola e o eixo ( ). - De
a , a área está entre a reta tangente e a parábola .
Então, a área total
será a soma dessas duas áreas:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Calculando em
:
Calculando em
:
A diferença:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região limitada é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada da funç pre que possível.
(1,5 pontos)Calcule o momento, com respeito ao eixo vertical
, da região acima de
e abaixo de
.
a)
b)
c)
d)
x .
a)
b)
c)
d)
x
(1 ponto) Seja
a função de
em
dada por
. Calcule
.
a) 7
b) - 36
c) 0
d) 36
e) 72 .
a) 7
b) - 36
c) 0
d) 36
e) 72 .
Encontre a derivada da funç pre que possível.