(2,5 pontos) Esboce a região limitada pela parábola , pela reta tangente a esta parábola em e pela reta , e calcule sua área.
Dado: a reta tangente a em é a reta .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar, ou seja, desenhar, a região que está limitada por três curvas diferentes:
  1. A parábola .
  2. A reta tangente à parábola no ponto , que é .
  3. A reta , que é o eixo .
Depois de entender isso, vamos calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção entre curvas, e cálculo, especificamente integrais para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram umas com as outras. Isso é importante para saber os limites de integração na hora de calcular a área.
Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e a reta tangente .
Igualando as duas equações:
Então, as duas curvas se encontram apenas no ponto , como já sabemos que a reta é tangente à parábola nesse ponto.
Agora, vamos encontrar onde a parábola e a reta tangente intersectam o eixo ( ).
Para a parábola:
Então, ela cruza o eixo em .
Para a reta tangente:
Então, a reta tangente cruza o eixo em .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar a região que queremos calcular a área.
  • A parábola começa no ponto e sobe para cima.
  • A reta tangente cruza o eixo em e toca a parábola apenas no ponto .
  • A reta é o eixo .
A região limitada por essas curvas fica entre e . Entre esses pontos, a parábola está abaixo da reta tangente.

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integração definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas, de a , é:
Onde é a função que está acima e a que está abaixo no intervalo considerado.
No nosso caso, de a , a parábola está abaixo da reta . Porém, como estamos considerando como limite inferior, vamos focar na diferença entre a reta tangente e a parábola de a .

Passo 5

Vamos dividir o cálculo da área em duas partes:
  1. De a , a área está entre a parábola e o eixo ( ).
  2. De a , a área está entre a reta tangente e a parábola .
Então, a área total será a soma dessas duas áreas:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Calculando em :
Calculando em :
A diferença:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região limitada é unidades de área.

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Encontre a derivada da funç pre que possível.
(1,5 pontos)Calcule o momento, com respeito ao eixo vertical , da região acima de e abaixo de .
a)
b)
c)
d)
x .
(1 ponto) Seja a função de em dada por . Calcule .
a) 7
b) - 36
c) 0
d) 36
e) 72 .
Encontre a derivada da funç pre que possível.