Uma roleta tem
casas, das quais
são vermelhas,
são pretas e
são verdes. A cada rodada do jogo, uma bola é jogada na roleta e cai em uma casa aleatória. Suponha que assistamos a
rodadas desse jogo, e seja
o número de rodadas que a bola pousou em uma fenda vermelha.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roleta com 38 casas: 18 vermelhas, 18 pretas e 2 verdes. A cada rodada, uma bola cai em uma dessas casas de forma aleatória. A gente vai acompanhar 7 rodadas e quer saber quantas vezes a bola caiu em uma casa vermelha, que vamos chamar de $ r $. Vamos usar a teoria de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a probabilidade de sucesso em uma única rodada. Aqui, “sucesso” significa a bola cair em uma casa vermelha. Como há 18 casas vermelhas entre 38, a probabilidade de sucesso ($ p $) é:
E a probabilidade de “fracasso” (a bola não cair em uma casa vermelha) é:
Passo 3
Como estamos observando 7 rodadas e queremos saber o número de sucessos $ r $, podemos modelar isso com a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n = 7 $ é o número de rodadas,
- $ r $ é o número de vezes que a bola cai em vermelho,
- $ \binom{n}{r} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ r $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 4
Vamos detalhar cada parte dessa fórmula:
- Coeficiente binomial: Calcula quantas combinações diferentes de $ r $ sucessos podem acontecer em $ n $ tentativas. É calculado por:
- Probabilidade de sucesso elevada a $ r $: $ p^r $ representa a probabilidade de ter $ r $ sucessos.
- Probabilidade de fracasso elevada a $ n - r $: $ q^{n - r} $ representa a probabilidade de ter $ n - r $ fracassos.
Passo 5
Com isso, podemos calcular a probabilidade de ter exatamente $ r $ rodadas com a bola em vermelho em 7 tentativas usando a fórmula acima. Basta substituir os valores de $ n $, $ p $ e $ q $ na equação.
Resposta
A probabilidade de a bola cair exatamente $ r $ vezes em uma casa vermelha nas 7 rodadas é dada por: