Uma roleta tem 38 casas, das quais 18 são vermelhas, 18 são pretas e 2 são verdes. A cada rodada do jogo, uma bola é jogada na roleta e cai em uma casa aleatória. Suponha que assistamos a 7 rodadas desse jogo, e seja r o número de rodadas que a bola pousou em uma fenda vermelha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roleta com 38 casas: 18 vermelhas, 18 pretas e 2 verdes. A cada rodada, uma bola cai em uma dessas casas de forma aleatória. A gente vai acompanhar 7 rodadas e quer saber quantas vezes a bola caiu em uma casa vermelha, que vamos chamar de $ r $. Vamos usar a teoria de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a probabilidade de sucesso em uma única rodada. Aqui, “sucesso” significa a bola cair em uma casa vermelha. Como há 18 casas vermelhas entre 38, a probabilidade de sucesso ($ p $) é:
p
E a probabilidade de “fracasso” (a bola não cair em uma casa vermelha) é:
p = 1838

Passo 3

Como estamos observando 7 rodadas e queremos saber o número de sucessos $ r $, podemos modelar isso com a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
r
Onde:
  • $ n = 7 $ é o número de rodadas,
  • $ r $ é o número de vezes que a bola cai em vermelho,
  • $ \binom{n}{r} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter $ r $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

Vamos detalhar cada parte dessa fórmula:
  • Coeficiente binomial: Calcula quantas combinações diferentes de $ r $ sucessos podem acontecer em $ n $ tentativas. É calculado por:
r
  • Probabilidade de sucesso elevada a $ r $: $ p^r $ representa a probabilidade de ter $ r $ sucessos.
  • Probabilidade de fracasso elevada a $ n - r $: $ q^{n - r} $ representa a probabilidade de ter $ n - r $ fracassos.

Passo 5

Com isso, podemos calcular a probabilidade de ter exatamente $ r $ rodadas com a bola em vermelho em 7 tentativas usando a fórmula acima. Basta substituir os valores de $ n $, $ p $ e $ q $ na equação.

Resposta

A probabilidade de a bola cair exatamente $ r $ vezes em uma casa vermelha nas 7 rodadas é dada por:
r

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