( 1,0 ponto) Verifique se o conjunto
é uma base de , justificando a sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos verificar se esse conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente e gera todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
Os vetores (ou polinômios) são linearmente independentes.
Eles geram todo o espaço.
No caso de , uma base padrão é . Vamos verificar se nosso conjunto atende a essas condições.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos supor que uma combinação linear dos elementos de é igual ao polinômio nulo:
Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 4
Resolvendo esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
A terceira equação é a mesma que a segunda, então não adiciona novas informações.
Assim, todas as constantes são expressas em termos de . Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução possível deve ser . Porém, como e dependem de , a única solução é quando , o que implica que .
Passo 5
Como a única solução para a combinação linear ser zero é , isso mostra que os polinômios em são linearmente independentes.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se os polinômios de geram todo o espaço . Como tem dimensão 3 e nosso conjunto também tem 3 polinômios linearmente independentes, isso significa que gera o espaço todo.
Resposta
Sim, o conjunto é uma base de porque seus elementos são linearmente independentes e geram todo o espaço.