( 1,0 ponto) Verifique se o conjunto A=t^2, t+1, t^2+t+1
é uma base de P2(R), justificando a sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos verificar se esse conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos precisar saber o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente e gera todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições:
  1. Os vetores (ou polinômios) são linearmente independentes.
  2. Eles geram todo o espaço.
No caso de , uma base padrão é . Vamos verificar se nosso conjunto atende a essas condições.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos supor que uma combinação linear dos elementos de c1t^2 + c2(t + 1) + c3(t^2 + t + 1) = 0 é igual ao polinômio nulo:
(c1 + c3)t^2 + (c2 + c3)t + (c2 + c3) = 0
Vamos expandir e agrupar os termos semelhantes:
c1 + c3 = 0 c2 + c3 = 0 c2 + c3 = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero:

Passo 4

Resolvendo esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. A terceira equação é a mesma que a segunda, então não adiciona novas informações.
Assim, todas as constantes são expressas em termos de . Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução possível deve ser . Porém, como e dependem de , a única solução é quando , o que implica que .

Passo 5

Como a única solução para a combinação linear ser zero é , isso mostra que os polinômios em são linearmente independentes.

Passo 6

Agora, precisamos verificar se os polinômios de geram todo o espaço . Como tem dimensão 3 e nosso conjunto também tem 3 polinômios linearmente independentes, isso significa que gera o espaço todo.

Resposta

Sim, o conjunto é uma base de porque seus elementos são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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