Sejam V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3: x=z e y=z um subespaço de V. ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço U de R^3 com dim U=2, tal que U oplus W=R^3, justificando a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e um subespaço definido por todos os vetores onde e . Nosso objetivo é encontrar um subespaço de que tem dimensão 2 e que, junto com , forme a soma direta que dá todo o espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, base e soma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o subespaço . As condições e significam que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde é um número real. Então, é a linha formada por todos os múltiplos do vetor . Isso nos mostra que é um subespaço de dimensão 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um subespaço de dimensão 2 que, junto com , forme a soma direta . A soma direta significa que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de , e que e se interceptam apenas no vetor nulo.

Passo 4

Para garantir que e formem uma soma direta que cobre , precisamos que seja um plano que não contenha nenhum vetor de , exceto o vetor zero. Uma maneira simples de fazer isso é escolher de forma que nenhum vetor de seja um múltiplo de .

Passo 5

Uma escolha adequada para é o plano formado pelos vetores e . Vamos verificar se isso funciona:
  1. Dimensão: Os vetores e são linearmente independentes, então .
  2. Soma Direta: Qualquer vetor em pode ser escrito como . Note que pertence a porque e implica , mas como só coincide com quando , a interseção é apenas o vetor zero. Assim, .

Resposta

Uma base para o subespaço é formada pelos vetores .

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