Sejam
e
e
um subespaço de
. ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço
de
com
, tal que
, justificando a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e um subespaço
definido por todos os vetores
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar um subespaço
de
que tem dimensão 2 e que, junto com
, forme a soma direta que dá todo o espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, subespaços, base e soma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o subespaço
. As condições
e
significam que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Então,
é a linha formada por todos os múltiplos do vetor
. Isso nos mostra que
é um subespaço de dimensão 1.
Passo 3
Agora, queremos encontrar um subespaço
de dimensão 2 que, junto com
, forme a soma direta
. A soma direta significa que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
, e que
e
se interceptam apenas no vetor nulo.
Passo 4
Para garantir que
e
formem uma soma direta que cobre
, precisamos que
seja um plano que não contenha nenhum vetor de
, exceto o vetor zero. Uma maneira simples de fazer isso é escolher
de forma que nenhum vetor de
seja um múltiplo de
.
Passo 5
Uma escolha adequada para
é o plano formado pelos vetores
e
. Vamos verificar se isso funciona:
- Dimensão: Os vetores
e são linearmente independentes, então . - Soma Direta: Qualquer vetor
em pode ser escrito como . Note que pertence a porque e implica , mas como só coincide com quando , a interseção é apenas o vetor zero. Assim, .
Resposta
Uma base para o subespaço
é formada pelos vetores
.
Exercícios relacionados
Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. (1,0 ponto)
e
é subespaço vetorial de
.
Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
ponto)
.
Sejam
e
subespaços de
. Determine:
pontos)
.
( 1,0 ponto) Verifique se o conjunto
é uma base de , justificando a sua resposta.
é uma base de