Sejam
e
subespaços de
. Determine:
pontos)
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
e dois subespaços
e
definidos por:
A pergunta é para encontrar a interseção desses dois subespaços, ou seja, todos os vetores que estão simultaneamente em
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e resolução de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar na interseção
. Um vetor
está em
se ele satisfaz as duas equações:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
,
e
que satisfazem ambas.
Passo 3
Primeiro, observamos a segunda equação:
Isso nos diz que
é igual a
. Vamos usar isso para substituir
na primeira equação.
Passo 4
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora temos expressões para
e
em termos de
:
Isso significa que qualquer vetor na interseção
pode ser escrito em função de
:
Passo 6
Podemos fatorar o
para expressar os vetores da interseção de forma mais clara:
Isso mostra que todos os vetores em
são múltiplos escalares do vetor
.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras:
Exercícios relacionados
Sejam
e
e
um subespaço de
. ( 1,0 ponto) Apresente uma base de um subespaço
de
com
, tal que
, justificando a sua resposta.
Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta. (1,0 ponto)
e
é subespaço vetorial de
.
( 1,0 ponto) Verifique se o conjunto
é uma base de , justificando a sua resposta.
é uma base de