Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in R^3: x-2 y-2 z=0 e
W=(x, y, z) in R^3: z-y=0 subespaços de V. Determine: (1,5 pontos) U cap W.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial U = (x, y, z) in R^3 : x - 2y - 2z = 0 e dois subespaços W = (x, y, z) in R^3 : z - y = 0 e definidos por:
A pergunta é para encontrar a interseção desses dois subespaços, ou seja, todos os vetores que estão simultaneamente em e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e resolução de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar na interseção x - 2y - 2z = 0 (Equação de U) . Um vetor z - y = 0 (Equação de W) está em se ele satisfaz as duas equações:
çã
çã
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas.

Passo 3

Primeiro, observamos a segunda equação:
z - y = 0 Rightarrow z = y
Isso nos diz que é igual a . Vamos usar isso para substituir na primeira equação.

Passo 4

Substituindo x - 2y - 2z = 0 Rightarrow x - 2y - 2y = 0 Rightarrow x - 4y = 0 na primeira equação:
x = 4y
Então, temos:

Passo 5

Agora temos expressões para x = 4y e z = y em termos de (x, y, z) = (4y, y, y) :
Isso significa que qualquer vetor na interseção pode ser escrito em função de :

Passo 6

Podemos fatorar o (x, y, z) = y cdot (4, 1, 1) para expressar os vetores da interseção de forma mais clara:
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos escalares do vetor .

Resposta

A interseção U cap W = , y cdot (4, 1, 1) mid y in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras:

Exercícios relacionados