Sejam V=R^3, U=(x, y, z) in R^3: x-2 y-2 z=0 e
W=(x, y, z) in R^3: z-y=0 subespaços de V. Determine: (1, 5 pontos) dim(U+W).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente está trabalhando com espaços vetoriais em ℝ³. Temos dois subespaços, U e W, definidos por certas equações:
  • U é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação .
  • W é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação .
O que a gente precisa encontrar é a dimensão da soma desses dois subespaços, denotada por . Para isso, vamos usar algumas ferramentas da álgebra linear, como a fórmula que relaciona as dimensões dos subespaços e sua interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a dimensão de U. A equação que define U é dim(U) = 2 . Essa é uma equação linear em três variáveis, então U é um hipersuperfície em ℝ³.
Para encontrar a dimensão de U, percebemos que essa equação reduz uma dimensão, ou seja, U é um plano em ℝ³. Assim, a dimensão de U é:

Passo 3

Agora, vamos determinar a dimensão de W. A equação que define W é dim(W) = 2 , que também é uma equação linear em três variáveis.
Essa equação também reduz uma dimensão, então W é outro plano em ℝ³. Portanto, a dimensão de W é:

Passo 4

Para encontrar dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) , precisamos usar a seguinte fórmula da álgebra linear:
Já sabemos que e . Agora, precisamos descobrir a dimensão da interseção de U e W, ou seja, .

Passo 5

Vamos encontrar x - 2y - 2(y) = 0 x - 4y = 0 x = 4y , que é o conjunto de vetores que pertencem tanto a U quanto a W. Isso significa que os vetores devem satisfazer ambas as equações:
  1. (x, y, z) = (4y, y, y) = y(4, 1, 1)
  2. dim(U cap W) = 1
Da segunda equação, podemos isolar . Vamos substituir isso na primeira equação:
Então, os vetores em têm a forma:
Isso mostra que é gerado por um único vetor, então a dimensão de é:

Passo 6

Agora que temos todas as dimensões necessárias, vamos aplicar a fórmula:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W) dim(U + W) = 2 + 2 - 1 = 3

Resposta

A dimensão de é 3.

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