Sejam
e
subespaços de
. Determine: (1, 5 pontos)
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente está trabalhando com espaços vetoriais em ℝ³. Temos dois subespaços, U e W, definidos por certas equações:
- U é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação
. - W é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que satisfazem a equação
.
O que a gente precisa encontrar é a dimensão da soma desses dois subespaços, denotada por
. Para isso, vamos usar algumas ferramentas da álgebra linear, como a fórmula que relaciona as dimensões dos subespaços e sua interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a dimensão de U. A equação que define U é
. Essa é uma equação linear em três variáveis, então U é um hipersuperfície em ℝ³.
Para encontrar a dimensão de U, percebemos que essa equação reduz uma dimensão, ou seja, U é um plano em ℝ³. Assim, a dimensão de U é:
Passo 3
Agora, vamos determinar a dimensão de W. A equação que define W é
, que também é uma equação linear em três variáveis.
Essa equação também reduz uma dimensão, então W é outro plano em ℝ³. Portanto, a dimensão de W é:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos usar a seguinte fórmula da álgebra linear:
Já sabemos que
e
. Agora, precisamos descobrir a dimensão da interseção de U e W, ou seja,
.
Passo 5
Vamos encontrar
, que é o conjunto de vetores que pertencem tanto a U quanto a W. Isso significa que os vetores devem satisfazer ambas as equações:
Da segunda equação, podemos isolar
. Vamos substituir isso na primeira equação:
Então, os vetores em
têm a forma:
Isso mostra que
é gerado por um único vetor, então a dimensão de
é:
Passo 6
Agora que temos todas as dimensões necessárias, vamos aplicar a fórmula:
Resposta
A dimensão de
é 3.