Questão 2. Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema dos Resíduos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente precisa calcular a integral de
ao redor do contorno
, que é um círculo com centro em
e raio 3. Para isso, vamos precisar identificar os singulares da função dentro desse contorno e calcular o resíduo correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades. A função exponencial
é inteira, ou seja, não tem singularidades, mas o argumento
tem uma singularidade quando
, ou seja, em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa singularidade
está dentro do contorno
. O contorno é definido por
, que é um círculo com centro em 1 e raio 3. A distância entre o centro
e a singularidade
é
, que é menor que 3. Portanto,
está dentro do contorno.
Passo 4
Como a única singularidade dentro de
é
, vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A função
tem uma singularidade essencial em
, mas podemos expandir em série de Laurent para encontrar o resíduo.
Passo 5
Expandindo
em série de Laurent:
O resíduo é o coeficiente de
, que ocorre quando
:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a
vezes o resíduo:
Resposta
Exercícios relacionados
(2,5 pontos) Verifique que
(1,5 ponto) Verifique que
Dica: Faça a mudança
e calcule uma integral de linha no círculo unitário.
Questão 7. Avalie a integral
, considerando-a como a parte real de
.
Classifique as equações diferenciais ordinárias abaixo quanto à ordem e linearidade:
;