Questão 2. Utilize o teorema dos resíduos para calcular a integral dada: ointC e^4 /(z-2) d z, |z-1|=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema dos Resíduos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente precisa calcular a integral de ao redor do contorno , que é um círculo com centro em e raio 3. Para isso, vamos precisar identificar os singulares da função dentro desse contorno e calcular o resíduo correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades. A função exponencial é inteira, ou seja, não tem singularidades, mas o argumento tem uma singularidade quando , ou seja, em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do contorno . O contorno é definido por , que é um círculo com centro em 1 e raio 3. A distância entre o centro e a singularidade é , que é menor que 3. Portanto, está dentro do contorno.

Passo 4

Como a única singularidade dentro de é , vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. A função tem uma singularidade essencial em , mas podemos expandir em série de Laurent para encontrar o resíduo.

Passo 5

Expandindo e^4z-2 = sumn=0^infty 4^nn! (z-2)^n em série de Laurent:
Res(e^4z-2, 2) = 4^11! = 4
O resíduo é o coeficiente de , que ocorre quando :

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, a integral é igual a ointC e^4z-2 , dz = 2pi i times 4 = 8pi i vezes o resíduo:

Resposta

ointC e^4z-2 , dz = 8pi i

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