(2 pontos) Ache dois númeror positivos, cuja soma é 300 e tais que o produto deles seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar dois números positivos que somam 300 e que o produto deles seja o maior possível. Vamos usar conceitos de álgebra e um pouco de otimização pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que:
Queremos maximizar o produto deles, ou seja:

Passo 3

Como temos que , podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na fórmula do produto:

Passo 4

Agora, temos uma função quadrática:
Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo), então o ponto mais alto da parábola será o ponto de máximo.

Passo 5

Para achar o valor de que maximiza o produto, podemos usar a fórmula do vértice da parábola:
Onde e :

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos encontrar :

Resposta

Os dois números positivos são 150 e 150, e o produto deles é máximo, igual a .

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Dada , determine: os intervalos onde o sinal de é positivo e onde é negativo.
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