(2 pontos) Ache dois númeror positivos, cuja soma é 300 e tais que o produto deles seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar dois números positivos que somam 300 e que o produto deles seja o maior possível. Vamos usar conceitos de álgebra e um pouco de otimização pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de
e
. Sabemos que:
Queremos maximizar o produto deles, ou seja:
Passo 3
Como temos que
, podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos
na fórmula do produto:
Passo 4
Agora, temos uma função quadrática:
Sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo), então o ponto mais alto da parábola será o ponto de máximo.
Passo 5
Para achar o valor de
que maximiza o produto, podemos usar a fórmula do vértice da parábola:
Onde
e
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
:
Resposta
Os dois números positivos são 150 e 150, e o produto deles é máximo, igual a
.
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Dada
, determine: os intervalos onde o sinal de
é positivo e onde é negativo.
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0
2
0
2
Dada
, determine: os máximos e mínimos locais de
.