(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(b) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função de forma explícita. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde as variáveis e podem ser separadas em lados opostos da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, multiplicamos ambos os lados por e para isolar as diferentes variáveis:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de em relação a :
Do lado direito, a integral de em relação a é:
Juntando as duas integrais, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a equação para encontrar . Multiplicando todos os termos por para eliminar os coeficientes:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Sabemos que , então:

Passo 5

Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Agora, isolamos aplicando o arco cosseno e dividindo por 3:

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é:

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pontos) Sabendo-se que as funções
são soluções da equação homogênea
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(1)
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(a) .