(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
de forma explícita. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde as variáveis
e
podem ser separadas em lados opostos da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
e
para isolar as diferentes variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Do lado esquerdo, temos a integral de
em relação a
:
Do lado direito, a integral de
em relação a
é:
Juntando as duas integrais, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para encontrar
. Multiplicando todos os termos por
para eliminar os coeficientes:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Com a constante encontrada, substituímos de volta na equação:
Agora, isolamos
aplicando o arco cosseno e dividindo por 3:
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é:
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são soluções da equação homogênea
Encontre a solução do PVI
(1,5 pontos) Encontre todas as soluçōes de
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que tornam a EDO
(1)
(1)
exata em
. Para as funções
encontradas, encontre as soluções de (1).
(2,0 pontos) Resolva as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
(a) .
(a)