(2,0 pontos) Resolva as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação que temos é:
Nesse tipo de equação, a gente tem que identificar o que são e na forma padrão da Equação de Bernoulli, que é:
Aqui, , e . Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma equação linear que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

A primeira coisa a fazer é fazer a substituição . Isso vai ajudar a simplificar a equação. Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir da equação original na expressão que encontramos para :
Substituindo na derivada de :
Lembrando que , então podemos escrever:

Passo 4

Agora temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo fica . Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples , :

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial ��:

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