(2,0 pontos) Resolva as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação que temos é:
Nesse tipo de equação, a gente tem que identificar o que são
e
na forma padrão da Equação de Bernoulli, que é:
Aqui,
,
e
. Vamos precisar usar uma substituição para transformar essa equação em uma equação linear que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
A primeira coisa a fazer é fazer a substituição
. Isso vai ajudar a simplificar a equação. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
da equação original na expressão que encontramos para
:
Substituindo na derivada de
:
Lembrando que
, então podemos escrever:
Passo 4
Agora temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo fica
. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição simples
,
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial ��:
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(1)
(1)
exata em
. Para as funções
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(b) e
.
(b)
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Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.