(1,5 pontos) Encontre todas as funções
que tornam a EDO
(1)
exata em
. Para as funções
encontradas, encontre as soluções de (1).
(1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as funções
que tornam a equação diferencial ordinária (EDO)
exata em
. Depois disso, precisamos encontrar as soluções dessa EDO para as funções
encontradas. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO na forma
é exata se existir uma função
tal que
Para que isso aconteça, deve-se verificar se:
Se essa condição for satisfeita, a equação é exata.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa EDO:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Para que a EDO seja exata, precisamos que:
Simplificando ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
onde
é uma constante de integração. Portanto, todas as funções
que satisfazem a condição são:
Passo 5
Com as funções
encontradas, vamos encontrar as soluções da EDO. Sabemos que a equação exata pode ser integrada para encontrar uma função
constante. Então, temos:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, percebemos que:
Integrando
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Portanto, a função
é:
Como
é constante, podemos escrever:
onde
é uma constante.
Resposta
As funções
, onde
é uma constante, tornam a EDO exata. As soluções gerais da equação são dadas por:
onde
é uma constante de integração.
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(b) e
.
(b)
são soluções da equação homogênea
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(a) .
(a)
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