(1,5 pontos) Encontre todas as funções g: R -> R que tornam a EDO
(1)
y(t)^{3} cos(t) + 3 y(t)^{2} g(t) \dot{y}(t) = 0
exata em R^2. Para as funções g encontradas, encontre as soluções de (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as funções que tornam a equação diferencial ordinária (EDO)
exata em . Depois disso, precisamos encontrar as soluções dessa EDO para as funções encontradas. Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO na forma
é exata se existir uma função tal que
Para que isso aconteça, deve-se verificar se:
Se essa condição for satisfeita, a equação é exata.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa EDO:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Para que a EDO seja exata, precisamos que:
Simplificando ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
onde é uma constante de integração. Portanto, todas as funções que satisfazem a condição são:

Passo 5

Com as funções encontradas, vamos encontrar as soluções da EDO. Sabemos que a equação exata pode ser integrada para encontrar uma função constante. Então, temos:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, percebemos que:
Integrando :
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Portanto, a função é:
Como é constante, podemos escrever:
onde é uma constante.

Resposta

As funções , onde é uma constante, tornam a EDO exata. As soluções gerais da equação são dadas por:
onde é uma constante de integração.

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