pontos) Sabendo-se que as funções
são soluções da equação homogênea
Encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equações diferenciais homogêneas. O enunciado nos diz que certas funções são soluções da equação
e nos pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e aplicar as condições iniciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial do PVI que queremos resolver:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 4:
Agora, temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral dessa equação é:
onde
, então
.
Passo 3
Sabemos que as soluções gerais de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes são combinações lineares de funções seno e cosseno. Ou seja, a solução geral é:
Substituindo
, temos:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais dadas no PVI. O enunciado nos fornece:
Vamos substituir
na solução geral:
Sabemos que
e
, então a equação fica:
Até aqui, determinamos que
.
Passo 5
Observe que o enunciado só fornece uma condição inicial, ou seja,
, e não uma condição sobre a derivada de
. Isso significa que temos apenas uma condição para determinar , mas ainda falta determinar
. No entanto, como a equação diferencial é de segunda ordem, geralmente precisaríamos de duas condições iniciais para determinar ambas as constantes.
Mas, como não temos a segunda condição, assumimos que
para simplificar, já que não há informação suficiente para determinar seu valor. Portanto, a solução fica:
Resposta
A solução do PVI é
.
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(a) e
;
(a)
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(b) e
.
(b)
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que tornam a EDO
(1)
(1)
exata em
. Para as funções
encontradas, encontre as soluções de (1).