pontos) Sabendo-se que as funções
são soluções da equação homogênea
Encontre a solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre equações diferenciais homogêneas. O enunciado nos diz que certas funções são soluções da equação e nos pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI) específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e aplicar as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial do PVI que queremos resolver:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 4:
Agora, temos uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral dessa equação é:
onde , então .

Passo 3

Sabemos que as soluções gerais de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes são combinações lineares de funções seno e cosseno. Ou seja, a solução geral é:
Substituindo , temos:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais dadas no PVI. O enunciado nos fornece:
Vamos substituir na solução geral:
Sabemos que e , então a equação fica:
Até aqui, determinamos que .

Passo 5

Observe que o enunciado só fornece uma condição inicial, ou seja, , e não uma condição sobre a derivada de . Isso significa que temos apenas uma condição para determinar , mas ainda falta determinar . No entanto, como a equação diferencial é de segunda ordem, geralmente precisaríamos de duas condições iniciais para determinar ambas as constantes.
Mas, como não temos a segunda condição, assumimos que para simplificar, já que não há informação suficiente para determinar seu valor. Portanto, a solução fica:

Resposta

A solução do PVI é .

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