(1,5 pontos) Encontre todas as soluçōes de
e encontre a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem e depois encontrar uma solução específica com uma condição inicial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear da forma
, onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Portanto,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A ideia é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito:
Usando a substituição
,
, ou seja,
:
Passo 6
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Agora, para encontrar a solução do PVI com a condição inicial
, substituímos
e
na solução geral:
Isso significa que a condição inicial não determina o valor de
, então a solução particular é a mesma da solução geral:
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(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(a) e
;
(a)
Questão ( 2,0 pontos) Mostre que a curva
tem duas retas tangentes no ponto
. Esboçe a curva encontrando inclusive as tangentes horizontais, verticais e determinando a concavidade.
são soluções da equação homogênea
Encontre a solução do PVI
(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(b) e
.
(b)