(1,5 pontos) Encontre todas as soluçōes de
partial ypartial y+(21-2 t y(t)=21-2 t, t in[0,1)
e encontre a solução do PVI
l doty(t)+21-2 t y(t)=21-2 t, t in[0,1) y(12)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem e depois encontrar uma solução específica com uma condição inicial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
dydt + 21 - 2t y(t) = 21 - 2t, t in [0,1)
Essa é uma equação linear da forma P(t) = 21 - 2t e Q(t) = 21 - 2t , onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt , que é dado por:
integral 21 - 2t dt
Calculando a integral de integral 2u (-12) du = -integral 1u du = -ln|u| + C = -ln|1 - 2t| + C :
mu(t) = e^-ln|1 - 2t| = 11 - 2t
Fazendo uma substituição simples, seja , então , ou seja, . Assim:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante 11 - 2t cdot dydt + 2(1 - 2t)^2 y = 2(1 - 2t)^2 :
ddt ( y1 - 2t ) = 2(1 - 2t)^2
A ideia é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a integral ddt ( y1 - 2t ) dt = integral 2(1 - 2t)^2 dt :
integral 2(1 - 2t)^2 dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente integral 2u^2 (-12) du = -integral 1u^2 du = 1u + C = 11 - 2t + C . Do lado direito:
Usando a substituição , , ou seja, :

Passo 6

Então, temos:
y1 - 2t = 11 - 2t + C
Multiplicando ambos os lados por y = 1 + C(1 - 2t) para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 1 + C(1 - 2t)
Agora, para encontrar a solução do PVI com a condição inicial 1 = 1 + C(1 - 2 cdot 12) Rightarrow 1 = 1 + C(1 - 1) Rightarrow 1 = 1 + C cdot 0 Rightarrow C é qualquer número real , substituímos y(t) = 1 + C(1 - 2t), C in R e na solução geral:
éú
Isso significa que a condição inicial não determina o valor de , então a solução particular é a mesma da solução geral:

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