(1,5 pontos) Encontre todas as soluçōes de
e encontre a solução do PVI

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem e depois encontrar uma solução específica com uma condição inicial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma ferramenta bacana para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear da forma , onde:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Fazendo uma substituição simples, seja , então , ou seja, . Assim:
Portanto,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A ideia é que o lado esquerdo agora seja a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito:
Usando a substituição , , ou seja, :

Passo 6

Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Agora, para encontrar a solução do PVI com a condição inicial , substituímos e na solução geral:
éú
Isso significa que a condição inicial não determina o valor de , então a solução particular é a mesma da solução geral:

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(a) e
Questão ( 2,0 pontos) Mostre que a curva tem duas retas tangentes no ponto . Esboçe a curva encontrando inclusive as tangentes horizontais, verticais e determinando a concavidade.
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são soluções da equação homogênea
Encontre a solução do PVI
(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(b) e .