(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(a) dy(t)/dt = 3*t^2*y(t)/(1+t^3) e y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução explícita de uma equação diferencial dada por com a condição inicial . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar dos termos que envolvem . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , a gente consegue separar as variáveis:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral do lado esquerdo é direta:
No lado direito, a integral de pode parecer complicada, mas vamos perceber que o denominador tem uma derivada semelhante ao numerador. De fato:
Isso sugere uma substituição simples. Vamos deixar , então . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, juntando as integrais dos dois lados, a gente tem:
Onde é uma constante geral. Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar para uma nova constante , então:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo na solução:

Resposta

A solução explícita da equação diferencial é:

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