(2,0 pontos) Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
(a)
e
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução explícita de uma equação diferencial dada por
com a condição inicial
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar
dos termos que envolvem
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Assim, temos:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, a gente consegue separar as variáveis:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral do lado esquerdo é direta:
No lado direito, a integral de
pode parecer complicada, mas vamos perceber que o denominador
tem uma derivada semelhante ao numerador. De fato:
Isso sugere uma substituição simples. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, juntando as integrais dos dois lados, a gente tem:
Onde
é uma constante geral. Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, então:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na solução:
Resposta
A solução explícita da equação diferencial é: