Questão ( 3,0 pontos) Considere um quadrado de lado . Suponha que em cada um dos vértices de é colocado um inseto. Os insetos começam a andar todos ao mesmo tempo, no sentido anti-horário, todos na mesma velocidade de tal forma que cada um deles anda sempre em direção ao inseto à sua direita. Eles se aproximam do centro de ao longo de um caminho em espiral.
(a) Encontre uma parametrização do caminho de um dos insectos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um quadrado com lado onde, em cada vértice, tem um inseto. Esses insetos começam a andar ao mesmo tempo, no sentido anti-horário, sempre em direção ao inseto à sua direita, formando um caminho em espiral em direção ao centro do quadrado. Nosso objetivo aqui é encontrar uma parametrização para o caminho de um desses insetos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas de perseguição e geometria analítica. Vamos precisar entender como a posição do inseto muda ao longo do tempo enquanto ele se move sempre em direção ao próximo inseto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos posicionar o quadrado de forma que seu centro esteja na origem do plano coordenado. Assim, os vértices do quadrado estarão em , , e .
Vamos focar em um dos insetos, digamos o que começa no ponto . Esse inseto sempre se move em direção ao inseto à sua direita, que inicialmente está em . Conforme o tempo passa, todos os insetos se movem, e a direção de cada um muda constantemente.
Para encontrar a parametrização, precisamos expressar as coordenadas e do inseto em função do tempo . Sabemos que a velocidade do inseto está sempre direcionada para o inseto à sua direita, ou seja, a derivada das coordenadas e deve apontar na direção desse alvo móvel.

Passo 3

Vamos considerar que a velocidade dos insetos é constante e igual a . A direção do movimento do inseto é sempre em direção ao inseto à sua direita. Isso significa que o vetor velocidade do inseto tem a direção do vetor que liga a posição atual do inseto à posição do inseto que ele está seguindo.
Matematicamente, podemos expressar as derivadas das coordenadas como:
Devido à simetria do problema, podemos inferir que a trajetória será uma espiral logarítmica. A equação paramétrica de uma espiral logarítmica é:
Onde é a distância ao centro, é o ângulo, é a distância inicial e é uma constante que determina a abertura da espiral.
No nosso caso, adaptando para coordenadas cartesianas, temos:
Para determinar e , precisamos relacionar a velocidade e a taxa de variação do ângulo.
Após resolver as equações diferenciais, encontramos que:
Onde é a velocidade angular.

Resposta

A parametrização do caminho de um dos insetos é dada por:
Onde e são constantes que dependem da velocidade dos insetos e das dimensões do quadrado, representando respectivamente a taxa de aproximação ao centro e a velocidade angular do movimento.

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(a) e