Questão ( 3,0 pontos) Considere um quadrado
de lado
. Suponha que em cada um dos vértices de
é colocado um inseto. Os insetos começam a andar todos ao mesmo tempo, no sentido anti-horário, todos na mesma velocidade de tal forma que cada um deles anda sempre em direção ao inseto à sua direita. Eles se aproximam do centro de
ao longo de um caminho em espiral.
(a) Encontre uma parametrização do caminho de um dos insectos.
(a) Encontre uma parametrização do caminho de um dos insectos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um quadrado
com lado
onde, em cada vértice, tem um inseto. Esses insetos começam a andar ao mesmo tempo, no sentido anti-horário, sempre em direção ao inseto à sua direita, formando um caminho em espiral em direção ao centro do quadrado. Nosso objetivo aqui é encontrar uma parametrização para o caminho de um desses insetos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de curvas de perseguição e geometria analítica. Vamos precisar entender como a posição do inseto muda ao longo do tempo enquanto ele se move sempre em direção ao próximo inseto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o sistema de coordenadas. Vamos posicionar o quadrado
de forma que seu centro esteja na origem
do plano coordenado. Assim, os vértices do quadrado estarão em
,
,
e
.
Vamos focar em um dos insetos, digamos o que começa no ponto
. Esse inseto sempre se move em direção ao inseto à sua direita, que inicialmente está em
. Conforme o tempo passa, todos os insetos se movem, e a direção de cada um muda constantemente.
Para encontrar a parametrização, precisamos expressar as coordenadas
e
do inseto em função do tempo
. Sabemos que a velocidade do inseto está sempre direcionada para o inseto à sua direita, ou seja, a derivada das coordenadas
e
deve apontar na direção desse alvo móvel.
Passo 3
Vamos considerar que a velocidade dos insetos é constante e igual a
. A direção do movimento do inseto é sempre em direção ao inseto à sua direita. Isso significa que o vetor velocidade do inseto tem a direção do vetor que liga a posição atual do inseto à posição do inseto que ele está seguindo.
Matematicamente, podemos expressar as derivadas das coordenadas como:
Devido à simetria do problema, podemos inferir que a trajetória será uma espiral logarítmica. A equação paramétrica de uma espiral logarítmica é:
Onde
é a distância ao centro,
é o ângulo,
é a distância inicial e
é uma constante que determina a abertura da espiral.
No nosso caso, adaptando para coordenadas cartesianas, temos:
Para determinar
e
, precisamos relacionar a velocidade e a taxa de variação do ângulo.
Após resolver as equações diferenciais, encontramos que:
Onde
é a velocidade angular.
Resposta
A parametrização do caminho de um dos insetos é dada por:
Onde
e
são constantes que dependem da velocidade dos insetos e das dimensões do quadrado, representando respectivamente a taxa de aproximação ao centro e a velocidade angular do movimento.
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(a) e
;
(a)