Questão ( 2,0 pontos) Mostre que a curva tem duas retas tangentes no ponto . Esboçe a curva encontrando inclusive as tangentes horizontais, verticais e determinando a concavidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curva definida por e tem duas retas tangentes no ponto . Além disso, precisamos esboçar a curva encontrando as tangentes horizontais, verticais e determinar a concavidade dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar as tangentes e analisar a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de que correspondem ao ponto . Sabemos que:
Resolvendo a segunda equação:
Então, os valores de que nos dão o ponto são e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
A inclinação da reta tangente é dada por :

Passo 4

Vamos calcular a inclinação das tangentes nos pontos correspondentes a e :
Para :
Para :
Então, temos duas inclinações diferentes para as tangentes no ponto .

Passo 5

Com as inclinações, podemos encontrar as equações das retas tangentes usando a forma , onde e é a inclinação.
Para ( ):
Para ( ):
Portanto, as duas retas tangentes no ponto são e .

Passo 6

Vamos agora encontrar as tangentes horizontais e verticais da curva.
Tangente Horizontal:
A tangente é horizontal quando :
Para :
Então, a tangente horizontal é a linha .
Tangente Vertical:
A tangente é vertical quando :
Para :
Então, uma tangente vertical é a linha .
Para :
Então, outra tangente vertical é a linha .

Passo 7

Finalmente, vamos determinar a concavidade da curva. Para isso, analisamos a segunda derivada .
Primeiro, calculamos e :
A segunda derivada da curva parametrizada é dada por:
Substituindo:
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a curva é côncava para cima.
  • Se , a curva é côncava para baixo.
Como o numerador é sempre negativo ( ) e o denominador depende de , a concavidade varia conforme o valor de .

Resposta

A curva tem duas retas tangentes no ponto , que são e . Além disso, possui uma tangente horizontal em , e tangentes verticais em e . A concavidade da curva varia conforme o valor de , sendo côncava para baixo ou para cima em diferentes intervalos.

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(a) e
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