Questão ( 2,0 pontos) Mostre que a curva
tem duas retas tangentes no ponto
. Esboçe a curva encontrando inclusive as tangentes horizontais, verticais e determinando a concavidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curva definida por
e
tem duas retas tangentes no ponto
. Além disso, precisamos esboçar a curva encontrando as tangentes horizontais, verticais e determinar a concavidade dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar as tangentes e analisar a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores de
que correspondem ao ponto
. Sabemos que:
Resolvendo a segunda equação:
Então, os valores de
que nos dão o ponto
são
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
A inclinação da reta tangente é dada por
:
Passo 4
Vamos calcular a inclinação das tangentes nos pontos correspondentes a
e
:
Para :
Para
Para
:
Então, temos duas inclinações diferentes para as tangentes no ponto
.
Passo 5
Com as inclinações, podemos encontrar as equações das retas tangentes usando a forma
, onde
e
é a inclinação.
Para
(
):
Para
(
):
Portanto, as duas retas tangentes no ponto
são
e
.
Passo 6
Vamos agora encontrar as tangentes horizontais e verticais da curva.
Tangente Horizontal:
A tangente é horizontal quando :
A tangente é horizontal quando
Para
:
Então, a tangente horizontal é a linha
.
Tangente Vertical:
A tangente é vertical quando :
A tangente é vertical quando
Para
:
Então, uma tangente vertical é a linha
.
Para
:
Então, outra tangente vertical é a linha
.
Passo 7
Finalmente, vamos determinar a concavidade da curva. Para isso, analisamos a segunda derivada
.
Primeiro, calculamos
e
:
A segunda derivada da curva parametrizada é dada por:
Substituindo:
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a curva é côncava para cima. - Se
, a curva é côncava para baixo.
Como o numerador é sempre negativo (
) e o denominador depende de
, a concavidade varia conforme o valor de
.
Resposta
A curva tem duas retas tangentes no ponto
, que são
e
. Além disso, possui uma tangente horizontal em
, e tangentes verticais em
e
. A concavidade da curva varia conforme o valor de
, sendo côncava para baixo ou para cima em diferentes intervalos.