Os pontos e pertencem a um mesmo corpo rígido, modelado como uma figura plana. Sabendo que:
Pedem-se:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos , e que fazem parte de um corpo rígido, ou seja, uma figura que não altera sua forma durante o movimento. A gente sabe as velocidades dos pontos e :
Queremos descobrir:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos corpos rígidos, especialmente a relação entre as velocidades dos pontos em um corpo rígido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em um corpo rígido que está girando, a velocidade de cada ponto depende da velocidade de um ponto de referência (neste caso, podemos usar o ponto ) mais a contribuição da rotação do corpo.
A fórmula que relaciona as velocidades de dois pontos em um corpo rígido é:
Aqui:
  • é a velocidade do ponto .
  • é a velocidade do ponto .
  • é o vetor velocidade angular do corpo.
  • é o vetor posição de para .
  • representa o produto vetorial.
Nosso objetivo é encontrar e , usando essa relação.

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor , que vai de até . As coordenadas dos pontos são:
Então, o vetor é:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na equação da velocidade:
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Vamos resolver o produto vetorial . Considerando que está perpendicular ao plano (direção ), podemos escrever .
Então:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, voltando à equação das velocidades:
Vamos reorganizar os termos:
Agrupando os coeficientes de e :

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes:
Para :
Para :

Passo 8

Agora que encontramos e , vamos responder às partes do exercício.

Passo 9

Para encontrar a velocidade do ponto , usamos a mesma fórmula:
Primeiro, encontramos , do ponto para o ponto .

Passo 10

Agora, calculamos o produto vetorial :

Passo 11

Agora, substituímos na equação da velocidade de :

Resposta

a)
b) A velocidade do ponto é

Exercícios relacionados

Sejam e , respectivamente, os vetores velocidade e aceleração de um ponto numa dada posição. Usando a representação de e a em coordenadas intrínsecas, mostre que o raio de curvatura satisfaz à relação:
O raio do pilar é definido por com y em metros. No topo do pilar atua uma força axial centrada para baixo proveniente da reação de apoio de uma viga igual a 5 tf . Sabendo que o peso específico do material que constitui o pilar é (mega grama força por metro cúbico) e que o solo de apoio tem as características descritas a seguir, determine qual é a cota de apoio da base do pilar para que o solo não rompa. Dados: foi feito um estudo no solo e verificado que a tensão admissível varia com a profundidade de acordo com os seguintes valores: . [Resposta: ].
O sistema indicado move-se no plano Oxy. A barra OA gira em torno de O, de maneira que , constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oy. Pedem-se:
a) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I da barra ;
b) A velocidade de B e a velocidade de ;
c) O vetor rotação da ;
d) A velocidade do ponto médio da barra AB ;
e) Os valores máximo e mínimo de , indicando para quais valores de eles ocorrem.
Obs.:
i) Admitir que o sistema possibilita ;
ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ;
iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável .
O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: . As barras estão articuladas em conforme a figura. O disco de raio e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constante . O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária , para constante. No instante mostrado na figura, o ponto E de contato está situado na metade da barra e o ponto está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Para este instante, usando a base fornecida, pedem-se:
a) A velocidade do ponto E ;
b) A velocidade do ponto ;
c) A aceleração do ponto E pertencente ao disco.
No instante em que , determine:
d) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I do disco.