Os pontos
e
pertencem a um mesmo corpo rígido, modelado como uma figura plana. Sabendo que:
Pedem-se:
a) O valor de
;
b) A velocidade
do ponto
.
a) O valor de
b) A velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos
,
e
que fazem parte de um corpo rígido, ou seja, uma figura que não altera sua forma durante o movimento. A gente sabe as velocidades dos pontos
e
:
Queremos descobrir:
a) O valor de
;
b) A velocidade
do ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos corpos rígidos, especialmente a relação entre as velocidades dos pontos em um corpo rígido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em um corpo rígido que está girando, a velocidade de cada ponto depende da velocidade de um ponto de referência (neste caso, podemos usar o ponto
) mais a contribuição da rotação do corpo.
A fórmula que relaciona as velocidades de dois pontos em um corpo rígido é:
Aqui:
-
é a velocidade do ponto . -
é a velocidade do ponto . -
é o vetor velocidade angular do corpo. -
é o vetor posição de para . -
representa o produto vetorial.
Nosso objetivo é encontrar
e
, usando essa relação.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor
, que vai de
até
. As coordenadas dos pontos são:
Então, o vetor
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na equação da velocidade:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Vamos resolver o produto vetorial
. Considerando que
está perpendicular ao plano (direção
), podemos escrever
.
Então:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, voltando à equação das velocidades:
Vamos reorganizar os termos:
Agrupando os coeficientes de
e
:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora que encontramos
e
, vamos responder às partes do exercício.
Passo 9
Para encontrar a velocidade do ponto
, usamos a mesma fórmula:
Primeiro, encontramos
, do ponto
para o ponto
.
Passo 10
Agora, calculamos o produto vetorial
:
Passo 11
Agora, substituímos na equação da velocidade de
:
Resposta
a)
b) A velocidade do ponto
é