Os pontos e pertencem a um mesmo corpo rígido, modelado como uma figura plana. Sabendo que:
Pedem-se:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos , e que fazem parte de um corpo rígido, ou seja, uma figura que não altera sua forma durante o movimento. A gente sabe as velocidades dos pontos e :
Queremos descobrir:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos corpos rígidos, especialmente a relação entre as velocidades dos pontos em um corpo rígido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, em um corpo rígido que está girando, a velocidade de cada ponto depende da velocidade de um ponto de referência (neste caso, podemos usar o ponto ) mais a contribuição da rotação do corpo.
A fórmula que relaciona as velocidades de dois pontos em um corpo rígido é:
Aqui:
é a velocidade do ponto .
é a velocidade do ponto .
é o vetor velocidade angular do corpo.
é o vetor posição de para .
representa o produto vetorial.
Nosso objetivo é encontrar e , usando essa relação.
Passo 3
Vamos começar encontrando o vetor , que vai de até . As coordenadas dos pontos são:
Então, o vetor é:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na equação da velocidade:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Vamos resolver o produto vetorial . Considerando que está perpendicular ao plano (direção ), podemos escrever .
Então:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, voltando à equação das velocidades:
Vamos reorganizar os termos:
Agrupando os coeficientes de e :
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes:
Para :
Para :
Passo 8
Agora que encontramos e , vamos responder às partes do exercício.
Passo 9
Para encontrar a velocidade do ponto , usamos a mesma fórmula: