Os pontos A(1,2), B(2,1) e C(-1,1) pertencem a um mesmo corpo rígido, modelado como uma figura plana. Sabendo que:
vA=imath-2 jmath e vB=3 imath+m jmath
Pedem-se:
a) O valor de m;
b) A velocidade vC do ponto C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos vA = imath - 2 jmath e vB = 3 imath + m jmath , e que fazem parte de um corpo rígido, ou seja, uma figura que não altera sua forma durante o movimento. A gente sabe as velocidades dos pontos e :
Queremos descobrir:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos corpos rígidos, especialmente a relação entre as velocidades dos pontos em um corpo rígido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em um corpo rígido que está girando, a velocidade de cada ponto depende da velocidade de um ponto de referência (neste caso, podemos usar o ponto vB = vA + omega times rBA ) mais a contribuição da rotação do corpo.
A fórmula que relaciona as velocidades de dois pontos em um corpo rígido é:
Aqui:
  • é a velocidade do ponto .
  • é a velocidade do ponto .
  • é o vetor velocidade angular do corpo.
  • é o vetor posição de para .
  • representa o produto vetorial.
Nosso objetivo é encontrar e , usando essa relação.

Passo 3

Vamos começar encontrando o vetor A(1,2) e B(2,1) , que vai de rBA = B - A = (2-1)imath + (1-2)jmath = imath - jmath até . As coordenadas dos pontos são:
Então, o vetor é:

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na equação da velocidade:
vB = vA + omega times rBA
Sabemos que:
vA = imath - 2 jmath e vB = 3 imath + m jmath
Então:
3 imath + m jmath = (imath - 2 jmath) + omega times (imath - jmath)

Passo 5

Vamos resolver o produto vetorial omega times (imath - jmath) = omega k times (imath - jmath) = omega (k times imath - k times jmath) . Considerando que k times imath = jmath e k times jmath = -imath está perpendicular ao plano (direção omega times (imath - jmath) = omega (jmath + imath) = omega imath + omega jmath ), podemos escrever .
Então:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, voltando à equação das velocidades:
3 imath + m jmath = (imath - 2 jmath) + omega imath + omega jmath
Vamos reorganizar os termos:
3 imath + m jmath = imath + omega imath + (-2 jmath + omega jmath)
Agrupando os coeficientes de 3 imath + m jmath = (1 + omega) imath + (-2 + omega) jmath e :

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes:
Para 3 = 1 + omega Rightarrow omega = 3 - 1 = 2 :
m = -2 + omega = -2 + 2 = 0
Para :

Passo 8

Agora que encontramos e , vamos responder às partes do exercício.

Passo 9

Para encontrar a velocidade do ponto vC = vA + omega times rCA , usamos a mesma fórmula:
C(-1,1) e A(1,2) Rightarrow rCA = C - A = (-1-1)imath + (1-2)jmath = -2 imath - jmath
Primeiro, encontramos , do ponto para o ponto .

Passo 10

Agora, calculamos o produto vetorial omega times rCA = 2 k times (-2 imath - jmath) = 2 (k times -2 imath + k times -jmath) = 2 (-2 jmath + imath) = -4 jmath + 2 imath :

Passo 11

Agora, substituímos na equação da velocidade de vC = vA + omega times rCA = (imath - 2 jmath) + (2 imath - 4 jmath) = (1 + 2) imath + (-2 - 4) jmath = 3 imath - 6 jmath :

Resposta

a)
b) A velocidade do ponto é

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