(2,0) Seja B a matriz definida por B=A-A^T então a matriz B é anti-simétrica.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão quer: temos uma matriz definida como e queremos mostrar que ela é anti-simétrica. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes transpostas e propriedades de matrizes anti-simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se, ao tirar a transposta dela, o resultado for igual ao negativo da matriz original. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de B^T = (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A . Sabemos que , então:
Aqui, usamos a propriedade de que a transposta de uma soma é a soma das transpostas, e que a transposta da transposta de é de novo.

Passo 4

Vamos comparar -B = -(A - A^T) = -A + A^T = A^T - A com B^T = A^T - A = -B :
Observamos que:
Isso mostra que , o que confirma que é anti-simétrica.

Resposta

A matriz é anti-simétrica porque sua transposta é igual ao seu negativo, ou seja, .

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