(2,0) Seja
a matriz definida por
então a matriz
é anti-simétrica.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão quer: temos uma matriz
definida como
e queremos mostrar que ela é anti-simétrica. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes transpostas e propriedades de matrizes anti-simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se, ao tirar a transposta dela, o resultado for igual ao negativo da matriz original. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de
. Sabemos que
, então:
Aqui, usamos a propriedade de que a transposta de uma soma é a soma das transpostas, e que a transposta da transposta de
é
de novo.
Passo 4
Vamos comparar
com
:
Observamos que:
Isso mostra que
, o que confirma que
é anti-simétrica.
Resposta
A matriz
é anti-simétrica porque sua transposta é igual ao seu negativo, ou seja,
.