( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI:
.
(b) Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma Equação Diferencial Ordinária. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para integrar os lados de forma separada.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Agora, cada lado da equação tem variáveis separadas, prontas para ser integradas.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Portanto, após a integração, temos:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a constante de integração
usando a condição inicial
.
Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Para resolver para
, vamos reorganizar a equação e usar a fórmula de Bhaskara (quadrática):
Isso é uma equação quadrática em
, onde:
Aplicando a fórmula quadrática:
Agora, aplicamos a condição inicial
para determinar o sinal correto:
Portanto, escolhemos o sinal negativo. A solução final é:
Resposta
Exercícios relacionados
(2,0 pontos)
(a) Mostre que é uma solução de
,
. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
(a) Mostre que
(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) , com
.
(a)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
10) .
10)
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
13) .
13)