( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma Equação Diferencial Ordinária. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que nos permite reorganizar a equação para integrar os lados de forma separada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Começamos multiplicando ambos os lados por :
Agora, cada lado da equação tem variáveis separadas, prontas para ser integradas.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Portanto, após a integração, temos:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a constante de integração usando a condição inicial .
Substituindo e na equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Para resolver para , vamos reorganizar a equação e usar a fórmula de Bhaskara (quadrática):
Isso é uma equação quadrática em , onde:
Aplicando a fórmula quadrática:
Agora, aplicamos a condição inicial para determinar o sinal correto:
Portanto, escolhemos o sinal negativo. A solução final é:

Resposta

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