(2,0 pontos)
(a) Mostre que é uma solução de , . Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , válida para . A tarefa é mostrar que resolve essa equação e, a partir disso, encontrar um conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar lembrar como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e, depois, saber montar um conjunto de soluções que sejam independentes entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se de fato satisfaz a equação diferencial. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de .

Passo 3

A função dada é . Vamos calcular a primeira derivada:

Passo 4

Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Com as derivadas em mãos, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então, a equação fica:

Passo 7

Como a equação se reduz a , confirmamos que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 8

Para encontrar um conjunto fundamental de soluções, precisamos de duas soluções que sejam linearmente independentes. Já temos uma delas: . Vamos procurar uma segunda solução. Sabemos que, para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, podemos usar o método da redução de ordem.

Passo 9

Assumimos que a segunda solução tem a forma , onde é o coeficiente de . Na nossa equação, .

Passo 10

Calculando a integral:
Então,

Passo 11

Agora, substituímos na expressão para :

Passo 12

Calculando a integral:
Ignoramos a constante de integração para encontrar uma solução particular:

Passo 13

Portanto, temos duas soluções linearmente independentes:

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é .

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) , com .
(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de .
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
10) .