(2,0 pontos)
(a) Mostre que y1(t) = t^(-1) é uma solução de 2 t^2 y'' + 3 t y' - y = 0, t > 0. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo , válida para . A tarefa é mostrar que resolve essa equação e, a partir disso, encontrar um conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar lembrar como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e, depois, saber montar um conjunto de soluções que sejam independentes entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se de fato satisfaz a equação diferencial. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de y1(t).

Passo 3

A função dada é . Vamos calcular a primeira derivada:

Passo 4

Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Com as derivadas em mãos, substituímos y1(t), e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Então, a equação fica:

Passo 7

Como a equação se reduz a , confirmamos que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

Passo 8

Para encontrar um conjunto fundamental de soluções, precisamos de duas soluções que sejam linearmente independentes. Já temos uma delas: . Vamos procurar uma segunda solução. Sabemos que, para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, podemos usar o método da redução de ordem.

Passo 9

Assumimos que a segunda solução tem a forma , onde P(t) é o coeficiente de . Na nossa equação, .

Passo 10

Calculando a integral:
Então,

Passo 11

Agora, substituímos na expressão para y2(t):

Passo 12

Calculando a integral:
Ignoramos a constante de integração para encontrar uma solução particular:

Passo 13

Portanto, temos duas soluções linearmente independentes:

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções é .

Exercícios relacionados