(2,0 pontos)
(a) Mostre que
é uma solução de
,
. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
(a) Mostre que
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo
, válida para
. A tarefa é mostrar que
resolve essa equação e, a partir disso, encontrar um conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar lembrar como verificar se uma função é solução de uma equação diferencial e, depois, saber montar um conjunto de soluções que sejam independentes entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
de fato satisfaz a equação diferencial. Para isso, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de
.
Passo 3
A função dada é
. Vamos calcular a primeira derivada:
Passo 4
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Então, a equação fica:
Passo 7
Como a equação se reduz a
, confirmamos que
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.
Passo 8
Para encontrar um conjunto fundamental de soluções, precisamos de duas soluções que sejam linearmente independentes. Já temos uma delas:
. Vamos procurar uma segunda solução. Sabemos que, para equações lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, podemos usar o método da redução de ordem.
Passo 9
Assumimos que a segunda solução tem a forma
, onde
é o coeficiente de
. Na nossa equação,
.
Passo 10
Calculando a integral:
Então,
Passo 11
Agora, substituímos na expressão para
:
Passo 12
Calculando a integral:
Ignoramos a constante de integração para encontrar uma solução particular:
Passo 13
Portanto, temos duas soluções linearmente independentes:
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções é
.
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) , com
.
(a)
(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de
.
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .
(b) Resolva o PVI:
Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
10) .
10)