Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
13) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa demonstrar que o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a . Vamos usar conceitos de limites e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número . Ele é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 e aparece muito em cálculos de crescimento contínuo e limites interessantes como esse que estamos vendo.

Passo 3

Vamos considerar a sequência . Para entender o que acontece quando fica muito grande, é útil reescrever essa expressão de uma forma que nos ajude a identificar o limite.

Passo 4

Sabemos que, por definição, pode ser escrito como o limite:
Isso é exatamente o que estamos tentando demonstrar. Vamos mostrar por que isso é verdadeiro.

Passo 5

Vamos aplicar o logaritmo natural para facilitar a análise do limite. Se deixarmos , então:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite . Podemos usar a aproximação de Taylor para quando é pequeno. Aqui, , que se aproxima de 0 quando cresce.

Passo 7

Aplicando a aproximação:
Multiplicando por :

Passo 8

Agora, ao tirar o limite quando tende ao infinito:
Então, , o que implica que .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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10) .
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .
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17) .
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23) .