Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
13) lim (1+xk)^k=e^x, x in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa demonstrar que o limite da sequência (1 + xk)^k quando k tende ao infinito é igual a e^x. Vamos usar conceitos de limites e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número e. Ele é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 e aparece muito em cálculos de crescimento contínuo e limites interessantes como esse que estamos vendo.

Passo 3

Vamos considerar a sequência (1 + xk)^k. Para entender o que acontece quando k fica muito grande, é útil reescrever essa expressão de uma forma que nos ajude a identificar o limite.

Passo 4

Sabemos que, por definição, e^x pode ser escrito como o limite:
e^x = limk to infty (1 + xk)^k
Isso é exatamente o que estamos tentando demonstrar. Vamos mostrar por que isso é verdadeiro.

Passo 5

Vamos aplicar o logaritmo natural para facilitar a análise do limite. Se deixarmos L = limk to infty (1 + xk)^k, então:
ln L = limk to infty k cdot ln(1 + xk)

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite limk to infty k cdot ln(1 + xk). Podemos usar a aproximação de Taylor para ln(1 + y) approx y - y^22 + dots quando y é pequeno. Aqui, y = xk, que se aproxima de 0 quando k cresce.

Passo 7

Aplicando a aproximação:
ln(1 + xk) approx xk - x^22k^2
Multiplicando por k:
k cdot ln(1 + xk) approx k cdot (xk - x^22k^2) = x - x^22k

Passo 8

Agora, ao tirar o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty (x - x^22k) = x
Então, ln L = x, o que implica que L = e^x.

Resposta

Portanto, mostramos que:
limk to infty (1 + xk)^k = e^x

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