Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
13)
.
13)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa demonstrar que o limite da sequência
quando
tende ao infinito é igual a
. Vamos usar conceitos de limites e exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o número
. Ele é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 e aparece muito em cálculos de crescimento contínuo e limites interessantes como esse que estamos vendo.
Passo 3
Vamos considerar a sequência
. Para entender o que acontece quando
fica muito grande, é útil reescrever essa expressão de uma forma que nos ajude a identificar o limite.
Passo 4
Sabemos que, por definição,
pode ser escrito como o limite:
Isso é exatamente o que estamos tentando demonstrar. Vamos mostrar por que isso é verdadeiro.
Passo 5
Vamos aplicar o logaritmo natural para facilitar a análise do limite. Se deixarmos
, então:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite
. Podemos usar a aproximação de Taylor para
quando
é pequeno. Aqui,
, que se aproxima de 0 quando
cresce.
Passo 7
Aplicando a aproximação:
Multiplicando por
:
Passo 8
Agora, ao tirar o limite quando
tende ao infinito:
Então,
, o que implica que
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
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10) .
10)
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .
(b) Resolva o PVI:
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
17) .
17)
Problema - No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
23) .
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