(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) y'' + 4y' + 3y = 0, com y(0)=2, y'(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica, escrever a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :
çã
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a condição :
çã
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, somamos as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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