(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a)
, com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
e as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica, escrever a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a condição
:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, somamos as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
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(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de
.
Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de
. Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de
, determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é, ). Represente geometricamente este comportamento.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é,
(2,0 pontos)
(a) Mostre que é uma solução de
,
. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
(a) Mostre que
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .
(b) Resolva o PVI: