(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a)
, com
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
e as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica, escrever a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a condição
:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, somamos as duas equações:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: