(2,0 pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
(a) , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica, escrever a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, aplicamos :
çã
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicamos a condição :
çã
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, somamos as duas equações:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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(2,0 pontos) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular de .
Um tanque contem 100 litros de água salgada. É adicionado, neste tanque, água salgada à razão de 5 litros por minuto, com uma concentração de sal de . Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque através de um buraco à mesma razão. A mistura do tanque é continuamente agitada, de modo a manter homogênea (isto é, a concentração é a mesma em todo o tanque). Se inicialmente a mistura contém uma concetração de , determine a concentração num instante futuro.
Estude o comportamento da concentração de sal no tanque, após um longo período de tempo (isto é, ). Represente geometricamente este comportamento.
(2,0 pontos)
(a) Mostre que é uma solução de , . Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
( 2,0 pontos)
(b) Resolva o PVI: .