Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
10) lim raiz[k]k=1.

Passo 1

Beleza, o problema pede para demonstrar que o limite da sequência raiz[k]k, quando tende ao infinito, é igual a 1. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma maneira que seja mais fácil de lidar com limites. Sabemos que é o mesmo que .

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão ln(k^1/k) = 1k ln(k) . Isso nos dá:
Isso é útil porque trabalhar com logaritmos pode simplificar o processo de encontrar limites.

Passo 4

Agora, analisamos o limite de limk to infty ln(k)k quando tende ao infinito:
Sabemos que, para grande, cresce mais lentamente que porque o logaritmo cresce de forma muito lenta em comparação com funções lineares.

Passo 5

Calculando o limite:
limk to infty ln(k)k = 0
Isso ocorre porque, no infinito, o numerador se torna insignificante comparado com o denominador .

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, já que limk to infty k^1/k = e^0 = 1 , podemos usar a propriedade dos logaritmos inversos para encontrar o limite de :
Aqui, é igual a 1.

Resposta

Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é igual a 1.

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