Problema - No exercícios de (9) a (14), demonstre os limites da tabela de limites notáveis de sequências.
10)
.
10)
Passo 1
Beleza, o problema pede para demonstrar que o limite da sequência
, quando
tende ao infinito, é igual a 1. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma maneira que seja mais fácil de lidar com limites. Sabemos que
é o mesmo que
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão
. Isso nos dá:
Isso é útil porque trabalhar com logaritmos pode simplificar o processo de encontrar limites.
Passo 4
Agora, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que, para
grande,
cresce mais lentamente que
porque o logaritmo cresce de forma muito lenta em comparação com funções lineares.
Passo 5
Calculando o limite:
Isso ocorre porque, no infinito, o numerador
se torna insignificante comparado com o denominador
.
Passo 6
Voltando à nossa expressão original, já que
, podemos usar a propriedade dos logaritmos inversos para encontrar o limite de
:
Aqui,
é igual a 1.
Resposta
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é igual a 1.