Os pontos A(2,4) e C(0,-2) são vértices opostos do quadrado A B C D. Determine a área e o perímetro desse quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois pontos, e , que são vértices opostos de um quadrado . Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a área e o perímetro desse quadrado.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre dois pontos e as propriedades dos quadrados, especialmente sobre como a diagonal se relaciona com os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e d = raiz(0 - 2)^2 + (-2 - 4)^2 = raiz(-2)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 36 = raiz40 = 2raiz10 , que são vértices opostos do quadrado. Essa distância é a diagonal do quadrado.
A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é:
Aplicando essa fórmula aos pontos e :
Então, a diagonal do quadrado mede unidades.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a diagonal do quadrado com o comprimento de seu lado. Em um quadrado, a diagonal D = L times raiz2 está relacionada ao lado L = Draiz2 pela seguinte fórmula:
L = 2raiz10raiz2 = 2raiz10raiz2 times raiz2raiz2 = 2raiz202 = raiz20 = 2raiz5
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:
Substituindo o valor da diagonal que encontramos:
Portanto, o lado do quadrado mede unidades.

Passo 4

Com o comprimento do lado em mãos, podemos agora calcular a área do quadrado. A área A = L^2 de um quadrado é dada por:
A = (2raiz5)^2 = 4 times 5 = 20
Substituindo :
Então, a área do quadrado é unidades quadradas.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o perímetro do quadrado. O perímetro P = 4 times L é a soma de todos os lados, e como um quadrado tem quatro lados iguais, a fórmula é:
P = 4 times 2raiz5 = 8raiz5
Substituindo :
Portanto, o perímetro do quadrado é unidades.

Resposta

A área do quadrado é unidades quadradas e o perímetro é unidades.

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