Sejam
e
os seguintes subespaços de
e
É verdade que
? Em algum dos casos a soma é direta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar algumas somas de subespaços em
. A ideia aqui é ver se, somando esses subespaços
,
, e
, a gente consegue todo o espaço
. Além disso, precisamos verificar se essas somas são diretas, ou seja, se a interseção entre os subespaços é só o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e somas diretas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
, onde
e
. Nosso objetivo é verificar se essa soma dá todo
, ou seja, se qualquer vetor em
pode ser obtido dessa maneira.
Passo 3
Vamos examinar os subespaços dados:
-
: Isso significa que qualquer vetor em tem a forma . -
: Aqui, os vetores têm a forma . -
: Vetores que satisfazem essa equação linear.
Passo 4
Vamos verificar se
. Pegamos um vetor genérico
em
e tentamos expressá-lo como a soma de um vetor em
e outro em
:
Isso nos dá as equações:
Substituindo
na última equação:
Então, podemos sempre encontrar
,
, e
que satisfazem as equações, o que significa que
.
Passo 5
Agora, vamos ver se a soma é direta. Para isso, precisamos checar se
.
Um vetor que está em
deve satisfazer as condições de ambos os subespaços:
Substituindo
na primeira equação:
E como
, o único vetor na interseção é
. Portanto, a soma é direta, ou seja,
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a soma
. Note que somar
duas vezes não adiciona nada a mais, pois a soma de subespaços é idempotente. Portanto,
.
Para verificar se
, vamos considerar que já sabemos que
. Então, adicionar
não muda nada, já que já cobrimos todo o espaço.
Resposta
Sim,
e a soma é direta, ou seja,
. Além disso,
também resulta em
.
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e
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