Sejam W1, W2 e W2 os seguintes subespaços de R^3
W1=(x, y, z) in R^2 mid x=z, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=y=0 e W3=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0 É verdade que W1+W2=W1+W3+W2+W3=R^3 ? Em algum dos casos a soma é direta?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar algumas somas de subespaços em . A ideia aqui é ver se, somando esses subespaços , , e , a gente consegue todo o espaço . Além disso, precisamos verificar se essas somas são diretas, ou seja, se a interseção entre os subespaços é só o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços e somas diretas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a soma de dois subespaços. A soma é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como , onde e . Nosso objetivo é verificar se essa soma dá todo , ou seja, se qualquer vetor em pode ser obtido dessa maneira.

Passo 3

Vamos examinar os subespaços dados:
  • : Isso significa que qualquer vetor em tem a forma .
  • : Aqui, os vetores têm a forma .
  • : Vetores que satisfazem essa equação linear.

Passo 4

Vamos verificar se (a, b, c) = (x, y, x) + (0, 0, z) . Pegamos um vetor genérico x = a y = b x + z = c em a + z = c Rightarrow z = c - a e tentamos expressá-lo como a soma de um vetor em e outro em :
Isso nos dá as equações:
Substituindo na última equação:
Então, podemos sempre encontrar , , e que satisfazem as equações, o que significa que .

Passo 5

Agora, vamos ver se a soma é direta. Para isso, precisamos checar se x = z x = y = 0 .
Um vetor que está em 0 = z Rightarrow z = 0 deve satisfazer as condições de ambos os subespaços:
Substituindo na primeira equação:
E como , o único vetor na interseção é . Portanto, a soma é direta, ou seja, .

Passo 6

Agora, vamos analisar a soma . Note que somar duas vezes não adiciona nada a mais, pois a soma de subespaços é idempotente. Portanto, .
Para verificar se , vamos considerar que já sabemos que . Então, adicionar não muda nada, já que já cobrimos todo o espaço.

Resposta

Sim, e a soma é direta, ou seja, . Além disso, também resulta em .

Exercícios relacionados

Se eu tenho uma coleção de livros, com os volumes numerados de 1 a 7 , de quantas formas eu posso ordenar esses livros de forma que o livro 1 seja o primeiro ou o livro 7 seja o último?
Os pontos A(2,4) e C(0,-2) são vértices opostos do quadrado A B C D. Determine a área e o perímetro desse quadrado.
Se temos 12 bolas com 4 cores diferentes: 6 pretas, 4 vermelhas, 1 branca e 1 verde e as bolas de uma mesma cor são indistinguíveis, então de quantas formas podemos ordená-las em uma fila?
Se eu tenho 10 caixas e N bolas para distribuir entre essas 10 caixas. Qual o menor valor de N de forma que qualquer forma de distribuir as bolas vai ter pelo menos uma caixa com 5 bolas ou mais?