Se eu tenho uma coleção de livros, com os volumes numerados de 1 a 7 , de quantas formas eu posso ordenar esses livros de forma que o livro 1 seja o primeiro ou o livro 7 seja o último?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem 7 livros numerados de 1 a 7 e quer saber de quantas maneiras diferentes pode organizá-los na estante, com a condição de que o livro 1 esteja sempre no primeiro lugar ou o livro 7 esteja sempre no último lugar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de permutações da matéria de contagem e probabilidade. Vamos precisar calcular as permutações totais e as que atendem às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma permutação. Uma permutação é uma arrumação de todos os elementos de um conjunto em uma ordem específica. Se temos
elementos, o número total de permutações é dado por
(fatorial de
), que significa
.
Passo 3
Vamos calcular o total de maneiras de organizar os 7 livros sem nenhuma restrição. Usando a fórmula das permutações:
Então, existem 5040 maneiras de organizar os 7 livros sem nenhuma condição.
Passo 4
Agora, vamos calcular quantas dessas permutações têm o livro 1 no primeiro lugar. Se o livro 1 está fixo no primeiro lugar, temos 6 livros restantes que podem ser organizados de qualquer maneira. Então, o número de permutações com o livro 1 primeiro é:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular quantas permutações têm o livro 7 no último lugar. Similar ao passo anterior, se o livro 7 está fixo no último lugar, temos 6 livros restantes para organizar:
Passo 6
Agora, precisamos ter cuidado para não contar duas vezes as permutações que têm o livro 1 no primeiro lugar e o livro 7 no último lugar ao mesmo tempo. Vamos calcular quantas dessas existem. Se o livro 1 está primeiro e o livro 7 está por último, então temos 5 livros restantes para organizar:
Passo 7
Para encontrar o total de arrumações que satisfazem ou a condição de ter o livro 1 primeiro ou o livro 7 último, usamos a fórmula da União de Conjuntos:
Substituindo os valores:
Resposta
Existem 1320 maneiras diferentes de organizar os 7 livros de forma que o livro 1 esteja no primeiro lugar ou o livro 7 esteja no último lugar.
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Os pontos
e
são vértices opostos do quadrado
. Determine a área e o perímetro desse quadrado.
Determine o ponto do eixo das abscissas que é equidistante dos pontos
e
Sejam
e
os seguintes subespaços de
e
É verdade que
? Em algum dos casos a soma é direta?
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