(2,0 pontos): Calcule a área da região delimitada pelas parábolas
,
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está limitada pelas parábolas
,
e pelas retas verticais
e
. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais dessas parábolas está por cima da outra no intervalo de
até
. Para isso, vamos calcular os valores de
para cada parábola nesses extremos e ver qual delas tem o valor maior de
.
Para
:
Para
:
Vemos que em
, ambas as parábolas têm o mesmo valor de
, mas em
, a segunda parábola (
) está acima da primeira (
).
Passo 3
Agora, vamos achar os pontos de interseção das duas parábolas para saber exatamente onde elas se cruzam dentro do intervalo de
a
. Igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação:
Dividindo tudo por -2:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as parábolas se cruzam em
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que a segunda parábola está acima da primeira de
até
, e depois a primeira parábola fica acima até
, vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
- De
a , a segunda parábola está acima. - De
a , a primeira parábola está acima.
Passo 5
Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente usando integrais. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Para o primeiro intervalo, de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Para o segundo intervalo, de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular essas integrais:
Para
:
Calculando em
:
E em
:
Então:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Para
:
Calculando em
:
E em
:
Então:
Novamente, considerando o valor absoluto:
Passo 7
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas parábolas e retas é 69 unidades de área.
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(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(a) ;
$(a)
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(b) ;
$(b)
(2,0 pontos): Seja
e
contínua. Determine
termos de
.
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$© .
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