(2,0 pontos): Calcule a área da região delimitada pelas parábolas , e as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está limitada pelas parábolas , e pelas retas verticais e . A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais dessas parábolas está por cima da outra no intervalo de até . Para isso, vamos calcular os valores de para cada parábola nesses extremos e ver qual delas tem o valor maior de .
Para :
Para :
Vemos que em , ambas as parábolas têm o mesmo valor de , mas em , a segunda parábola ( ) está acima da primeira ( ).

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos de interseção das duas parábolas para saber exatamente onde elas se cruzam dentro do intervalo de a . Igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação:
Dividindo tudo por -2:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, as parábolas se cruzam em e .

Passo 4

Agora que sabemos que a segunda parábola está acima da primeira de até , e depois a primeira parábola fica acima até , vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De a , a segunda parábola está acima.
  2. De a , a primeira parábola está acima.

Passo 5

Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente usando integrais. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Áçãçã
Para o primeiro intervalo, de a :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Para o segundo intervalo, de a :
Á
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular essas integrais:
Para Á:
Á
Calculando em :
E em :
Então:
Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á
Para Á:
Á
Calculando em :
E em :
Então:
Á
Novamente, considerando o valor absoluto:
Á

Passo 7

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região delimitada pelas parábolas e retas é 69 unidades de área.

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.