(2,0 pontos): Seja g(x)=integralraizx^3 x+1 h(s) d s, x>0 e h(s) contínua. Determine g^prime(x) em termos de h(x).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada da função em termos de . Estamos lidando com cálculo, especificamente com a derivação de integrais que têm limites que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra de Leibniz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada é dada por:
Essa regra nos diz que a derivada da integral é a função integranda avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz à nossa função a'(x) = ddx raizx = 12raizx , identificamos:
  • b'(x) = ddx (3x + 1) = 3
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Agora, precisamos derivar os limites em relação a :

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra de Leibniz:
g'(x) = h(b(x)) cdot b'(x) - h(a(x)) cdot a'(x)
g'(x) = h(3x + 1) cdot 3 - h(raizx) cdot 12raizx

Resposta

A derivada de g'(x) = 3, h(3x + 1) - h(raizx)2raizx é:

Exercícios relacionados