(2,0 pontos): Seja e contínua. Determine termos de .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada da função em termos de . Estamos lidando com cálculo, especificamente com a derivação de integrais que têm limites que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra de Leibniz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de , ou seja, , então a derivada é dada por:
Essa regra nos diz que a derivada da integral é a função integranda avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz à nossa função , identificamos:
  • Limite inferior:
  • Limite superior:
Agora, precisamos derivar os limites em relação a :

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra de Leibniz:

Resposta

A derivada de é:

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(2,0 pontos): Calcule a área da região delimitada pelas parábolas , e as retas e .
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(a) ;
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
.
(2,0 pontos): Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas e ao redor do eixo .