(2,0 pontos): Seja
e
contínua. Determine
termos de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a derivada da função
em termos de
. Estamos lidando com cálculo, especificamente com a derivação de integrais que têm limites que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra de Leibniz. Se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, ou seja,
, então a derivada
é dada por:
Essa regra nos diz que a derivada da integral é a função integranda avaliada nos limites multiplicada pelas derivadas desses limites.
Passo 3
Aplicando a regra de Leibniz à nossa função
, identificamos:
-
- Limite inferior:
- Limite superior:
Agora, precisamos derivar os limites em relação a
:
Passo 4
Substituindo na fórmula da regra de Leibniz:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
(2,0 pontos): Calcule a área da região delimitada pelas parábolas
,
e as retas
e
.
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(a) ;
$(a)
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$© .
$©
(2,0 pontos): Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
e
ao redor do eixo
.