(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(b)
;
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos tirar um
em comum:
E o
é uma diferença de quadrados, então:
Assim, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação acima por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir cada termo do lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - De
, temos . - Substituindo
e na primeira equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, podemos escrever a decomposição:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a: