(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(b) b;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos tirar um em comum:
E o é uma diferença de quadrados, então:
Assim, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir cada termo do lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. Substituindo e na primeira equação:
Então, .

Passo 7

Agora que encontramos , e , podemos escrever a decomposição:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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