(4 pontos). Calcule, exibindo os detalhes das suas contas, a área da região
.
Considere a mudança de variáveis:
Considere a mudança de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região
usando uma mudança de variáveis. O enunciado nos dá a transformação:
Isso está relacionado ao cálculo de áreas usando substituições e determinantes jacobianos. Para resolver, vamos precisar entender como essa transformação altera a região original e usar o determinante jacobiano para ajustar a integral da área.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a entender como as áreas mudam quando fazemos a substituição de variáveis. O jacobiano
é a matriz das derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada:
Passo 3
Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
Para encontrar o determinante do jacobiano, fazemos:
Passo 4
O próximo passo é expressar
e
em termos de
e
para substituir no determinante. Da transformação original:
Igualando as duas expressões para
:
Então,
Passo 5
Substituímos
e
na expressão do determinante:
Passo 6
Agora, para calcular a área da região
, precisamos fazer a integral dupla na nova variável:
Onde
é a região transformada no sistema
.
Resposta
A área da região
é dada por: