(4 pontos). Calcule, exibindo os detalhes das suas contas, a área da região R.
Considere a mudança de variáveis:
u = x^2 / y, v = x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região usando uma mudança de variáveis. O enunciado nos dá a transformação:
Isso está relacionado ao cálculo de áreas usando substituições e determinantes jacobianos. Para resolver, vamos precisar entender como essa transformação altera a região original e usar o determinante jacobiano para ajustar a integral da área.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a entender como as áreas mudam quando fazemos a substituição de variáveis. O jacobiano é a matriz das derivadas parciais de e em relação a e :
Vamos calcular cada derivada:

Passo 3

Agora, montamos a matriz jacobiana com essas derivadas:
Para encontrar o determinante do jacobiano, fazemos:

Passo 4

O próximo passo é expressar e em termos de e para substituir no determinante. Da transformação original:
Igualando as duas expressões para :
Então,

Passo 5

Substituímos e na expressão do determinante:

Passo 6

Agora, para calcular a área da região , precisamos fazer a integral dupla na nova variável:
Á
Onde é a região transformada no sistema .

Resposta

A área da região é dada por:
Á

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