(1,5 pontos)Calcule o momento, com respeito ao eixo vertical
, da região acima de
e abaixo de
.
a)
b)
c)
d)
x
.
a)
b)
c)
d)
x
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular o momento da região acima da parábola
e abaixo da reta
em relação ao eixo vertical
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de momentos de áreas. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas e depois calcular uma integral que representa esse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola e a reta se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Expandindo a parábola:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Esses são os limites de integração.
Passo 3
Agora, precisamos configurar a integral para calcular o momento em relação ao eixo y (
). O momento
é dado por:
Aqui,
e
, e os limites
e
.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Avaliando de 0 a 3:
Resposta
A resposta correta é
.