Para a seguinte função encontre os seus pontos de extremo local e os intervalos nos quais ela é crescente ou decrescente:

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos descobrir onde ela tem pontos de extremo local, ou seja, máximos e mínimos, e também identificar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de extremo local, precisamos resolver a equação . Esses pontos são onde a função pode ter um máximo ou mínimo local.
Então, vamos resolver:

Passo 4

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

Como é positivo, temos duas raízes reais:
Isso nos dá:

Passo 6

Com as derivadas iguais a zero nos pontos e , esses são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo local. Para confirmar, vamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.

Passo 7

Vamos construir uma tabela de sinais para :
  • Para , escolhemos :
Então, nesse intervalo.
  • Para , escolhemos :
Então, nesse intervalo.
  • Para , escolhemos :
Então, nesse intervalo.

Passo 8

Com base na tabela de sinais:
  • A função está crescente onde , ou seja, em e .
  • A função está decrescente onde , ou seja, entre e .

Passo 9

Para determinar se os pontos e são máximos ou mínimos, observamos as mudanças no sinal da derivada:
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Resposta

A função tem um máximo local em e um mínimo local em . Ela está crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo .

Exercícios relacionados

Use a regra de L
Seja
Calcule .
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(b) ;
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(a) ;