Para a seguinte função encontre os seus pontos de extremo local e os intervalos nos quais ela é crescente ou decrescente:
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisamos descobrir onde ela tem pontos de extremo local, ou seja, máximos e mínimos, e também identificar os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar os pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de extremo local, precisamos resolver a equação
. Esses pontos são onde a função pode ter um máximo ou mínimo local.
Então, vamos resolver:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Passo 5
Como
é positivo, temos duas raízes reais:
Isso nos dá:
Passo 6
Com as derivadas iguais a zero nos pontos
e
, esses são os candidatos a pontos de máximo ou mínimo local. Para confirmar, vamos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
Passo 7
Vamos construir uma tabela de sinais para
:
- Para
, escolhemos :
Então,
nesse intervalo.
- Para
, escolhemos :
Então,
nesse intervalo.
- Para
, escolhemos :
Então,
nesse intervalo.
Passo 8
Com base na tabela de sinais:
- A função está crescente onde
, ou seja, em e . - A função está decrescente onde
, ou seja, entre e .
Passo 9
Para determinar se os pontos
e
são máximos ou mínimos, observamos as mudanças no sinal da derivada:
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. - Em
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Resposta
A função
tem um máximo local em
e um mínimo local em
. Ela está crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use a regra de L
Seja
Calcule
.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
Dica: Precisa usar a regra da cadeia em duas ocasiões.
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(b) ;
$(b)
(3,0 pontos): Calcule as seguintes integrais
$(a) ;
$(a)