(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
b) integral e^-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de integrais de funções não-elementares. Para resolver, vamos usar séries de potências, que são uma forma de expandir funções em uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^u = sumn=0^infty u^nn! pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, indica uma soma infinita, é o fatorial de , e é qualquer expressão que dependemos de .

Passo 3

No nosso caso, temos e^-x^2 = sumn=0^infty (-x^2)^nn! , então vamos substituir e^-x^2 = sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! por na série:
Simplificando o termo :

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral fica:
integral e^-x^2 dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^2nn! dx
Podemos trocar a ordem da integral e da soma:
integral e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^nn! integral x^2n dx

Passo 5

Vamos integrar integral x^2n dx = x^2n+12n+1 . A integral de integral e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1) n! é , então:
Substituindo de volta na série:

Resposta

A integral integral e^-x^2 dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1) n! + C em termos de séries de potências é:
onde é a constante de integração.

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