(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício pertence ao conteúdo de integrais de funções não-elementares. Para resolver, vamos usar séries de potências, que são uma forma de expandir funções em uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui,
indica uma soma infinita,
é o fatorial de
, e
é qualquer expressão que dependemos de
.
Passo 3
No nosso caso, temos
, então vamos substituir
por
na série:
Simplificando o termo
:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral fica:
Podemos trocar a ordem da integral e da soma:
Passo 5
Vamos integrar
. A integral de
é
, então:
Substituindo de volta na série:
Resposta
A integral
em termos de séries de potências é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Uma conta de colar é enfiada em um arame fino com o formato da parábola
. Do ponto
de coordenadas
, deixa-se a conta deslizar até chegar ao ponto
de ordenada -6 . Qual a distância horizontal percorrida pela conta?
©
(h)
(2 pontos) Determine a curvatura
da curva espacial parametrizada por
,
, no instante
.