(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício pertence ao conteúdo de integrais de funções não-elementares. Para resolver, vamos usar séries de potências, que são uma forma de expandir funções em uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser escrita como uma série de potências:
Aqui, indica uma soma infinita, é o fatorial de , e é qualquer expressão que dependemos de .

Passo 3

No nosso caso, temos , então vamos substituir por na série:
Simplificando o termo :

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo. A integral fica:
Podemos trocar a ordem da integral e da soma:

Passo 5

Vamos integrar . A integral de é , então:
Substituindo de volta na série:

Resposta

A integral em termos de séries de potências é:
onde é a constante de integração.

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(h)
(2 pontos) Determine a curvatura da curva espacial parametrizada por , , no instante .