(2 pontos) Determine a curvatura
da curva espacial parametrizada por
,
, no instante
.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a curvatura
da curva espacial dada pela parametrização no instante
.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo vectorial, especificamente com curvas no espaço tridimensional. Para encontrar a curvatura de uma curva parametrizada, vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas da função vetorial, além de utilizar o produto vetorial e normas de vetores.
Passo 2
Calculando a primeira derivada
:
A primeira derivada de
em relação a
nos dá a velocidade vetor da curva.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Calculando a segunda derivada
:
A segunda derivada nos dá a aceleração vetor da curva.
Calculando cada componente:
Então,
Passo 4
Calculando o produto vetorial
:
O produto vetorial entre
e
nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por esses vetores, o que é essencial para calcular a curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Calculando as normas
e
:
A norma de
é dada por:
A norma do produto vetorial
é:
Passo 6
Calculando a curvatura
:
A fórmula para a curvatura de uma curva espacial é:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A curvatura
da curva no instante
é
.