(2 pontos) Determine a curvatura kappa da curva espacial parametrizada por r(t) = (e^t * cos(t), e^t * sen(t), 2), t in R, no instante t = 0.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a curvatura da curva espacial dada pela parametrização no instante .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo vectorial, especificamente com curvas no espaço tridimensional. Para encontrar a curvatura de uma curva parametrizada, vamos precisar calcular as derivadas primeiras e segundas da função vetorial, além de utilizar o produto vetorial e normas de vetores.

Passo 2

Calculando a primeira derivada :
A primeira derivada de em relação a nos dá a velocidade vetor da curva.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 3

Calculando a segunda derivada :
A segunda derivada nos dá a aceleração vetor da curva.
Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Calculando o produto vetorial :
O produto vetorial entre e nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por esses vetores, o que é essencial para calcular a curvatura.
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Calculando as normas e :
A norma de é dada por:
A norma do produto vetorial é:

Passo 6

Calculando a curvatura :
A fórmula para a curvatura de uma curva espacial é:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A curvatura da curva no instante é .

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