Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando a região R, delimitada pela curva , pelas retas e , é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites da região R. A curva intersecta a reta quando , ou seja, quando . Então, a região R está delimitada entre e .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno da reta , que é vertical, é mais conveniente usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo y.

Passo 4

A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
â
Aqui, e .

Passo 5

A distância ao eixo para um ponto qualquer é . A altura da casca é dada pela função .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Então, a integral definida é:
Calculando em :
E em :

Passo 9

Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
Seja R a região limitada pela curva e pelas retas e .
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;