Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
f) da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando a região R, delimitada pela curva
, pelas retas
e
, é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites da região R. A curva
intersecta a reta
quando
, ou seja, quando
. Então, a região R está delimitada entre
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno da reta
, que é vertical, é mais conveniente usar o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Esse método é útil quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo y.
Passo 4
A fórmula do método das cascas cilíndricas é:
Aqui,
e
.
Passo 5
A distância ao eixo
para um ponto qualquer
é
. A altura da casca é dada pela função
.
Passo 6
Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Então, a integral definida é:
Calculando em
:
E em
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
d) da reta
d) da reta
Seja R a região limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
e) da reta
e) da reta
(2 pontos) Calcule as seguintes integrais não-elementares em termos de séries de potências:
a) ;
a)