( 1,0 pontos) O carro esté se movimentando para o leste a e o carro está se movimentando para o sul a . Ambos vio em diregio oposta à intersecgio de duas estradas perpendiculares. A que taxa os carros se distanciam um do outro quando o Carro está a 60 m e o Carro B está a 80 m da intersecgio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos dois carros, o Carro A e o Carro B, que estão se afastando de uma interseção de duas ruas que são perpendiculares (uma vai para o leste e a outra para o sul). O Carro A está indo para o leste a uma velocidade de e o Carro B está indo para o sul a . Queremos descobrir a que velocidade eles estão se afastando um do outro quando o Carro A está a 60 metros da interseção e o Carro B está a 80 metros de lá. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias dos carros.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de km/h para m/s, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
Então, as velocidades ficam:

Passo 3

Vamos chamar a distância do Carro A da interseção de e a do Carro B de . O que queremos encontrar é a taxa de variação da distância entre os dois carros, que vamos chamar de . Temos que:
Isso vem do Teorema de Pitágoras, já que os caminhos dos carros formam um triângulo retângulo.

Passo 4

Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:

Passo 5

Queremos encontrar , a taxa que os carros estão se afastando um do outro. Vamos isolar :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de quando e :

Passo 7

Substituindo os valores na equação da taxa:

Resposta

A uma taxa aproximada de , os carros estão se afastando um do outro quando o Carro A está a 60 metros e o Carro B está a 80 metros da interseção.

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Encontre a derivada das seguintes funçues:
(b)
( 3,0 pontos) Esboce o gráfico da funçāo , indicando seus intervalos de crescimento/decrescimento e concavidades, a existência ou nāo de pontos de máximos/mínimos locais, pontos de inflexāo e retas assíntotas (verticais/horizontais).
Marque a opção correta para os limites abaixo
A)
B)
C) 1
D) 5
E) 0
A) 7
B) 2
C)
D)
E) Nenhuma dessas
Se , então encontre
A) 5
B) 10
C) 40
D) 80
E) Nenhuma dessas
Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções: Resposta: