( 1,0 pontos) O carro
esté se movimentando para o leste a
e o carro
está se movimentando para o sul a
. Ambos vio em diregio oposta à intersecgio de duas estradas perpendiculares. A que taxa os carros se distanciam um do outro quando o Carro
está a 60 m e o Carro B está a 80 m da intersecgio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos dois carros, o Carro A e o Carro B, que estão se afastando de uma interseção de duas ruas que são perpendiculares (uma vai para o leste e a outra para o sul). O Carro A está indo para o leste a uma velocidade de
e o Carro B está indo para o sul a
. Queremos descobrir a que velocidade eles estão se afastando um do outro quando o Carro A está a 60 metros da interseção e o Carro B está a 80 metros de lá. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas e o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias dos carros.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de km/h para m/s, já que as distâncias estão em metros. Sabemos que:
Então, as velocidades ficam:
Passo 3
Vamos chamar a distância do Carro A da interseção de
e a do Carro B de
. O que queremos encontrar é a taxa de variação da distância entre os dois carros, que vamos chamar de
. Temos que:
Isso vem do Teorema de Pitágoras, já que os caminhos dos carros formam um triângulo retângulo.
Passo 4
Agora, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Passo 5
Queremos encontrar
, a taxa que os carros estão se afastando um do outro. Vamos isolar
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
quando
e
:
Passo 7
Substituindo os valores na equação da taxa:
Resposta
A uma taxa aproximada de
, os carros estão se afastando um do outro quando o Carro A está a 60 metros e o Carro B está a 80 metros da interseção.