( 3,0 pontos) Esboce o gráfico da funçāo
, indicando seus intervalos de crescimento/decrescimento e concavidades, a existência ou nāo de pontos de máximos/mínimos locais, pontos de inflexāo e retas assíntotas (verticais/horizontais).
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão e assíntotas verticais e horizontais. Bora lá entender cada passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, encontramos os valores de
que tornam o denominador zero:
Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida (quando o denominador é zero). Já as assíntotas horizontais são encontradas analisando o limite da função quando
tende ao infinito.
Assíntotas Verticais:
Como vimos, e
fazem o denominador ser zero, então são assíntotas verticais.
Como vimos,
Assíntota Horizontal:
Calculamos o limite de quando
tende ao infinito:
Calculamos o limite de
Então, existe uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a primeira derivada. Primeiro, calculamos
:
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, então o sinal de
depende apenas de
:
- Se
, → Função decresce. - Se
, → Função cresce.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada
. Primeiro, derivamos
:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Analisamos o sinal de
:
Então:
- Para
, → Concavidade para baixo. - Para
, → Concavidade para cima.
Passo 6
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
exceto . - Assíntotas Verticais:
, . - Assíntota Horizontal:
. - Crescimento:
- Cresce em
. - Decresce em
.
- Cresce em
- Concavidade:
- Para
, concava para baixo. - Para
, concava para cima.
- Para
- Pontos de Inflação e Extremos: Não há pontos de máximo ou mínimo locais, mas há pontos de inflexão em
.
Resposta
O gráfico da função
possui:
- Assíntotas Verticais em
e . - Assíntota Horizontal em
. - A função cresce para
e decresce para . - Concavidade para baixo quando
e para cima quando . - Pontos de Inflexão em
. - Não apresenta pontos de máximos ou mínimos locais.