( 3,0 pontos) Esboce o gráfico da funçāo , indicando seus intervalos de crescimento/decrescimento e concavidades, a existência ou nāo de pontos de máximos/mínimos locais, pontos de inflexāo e retas assíntotas (verticais/horizontais).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão e assíntotas verticais e horizontais. Bora lá entender cada passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O denominador não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, encontramos os valores de que tornam o denominador zero:
Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida (quando o denominador é zero). Já as assíntotas horizontais são encontradas analisando o limite da função quando tende ao infinito.
Assíntotas Verticais:
Como vimos, e fazem o denominador ser zero, então são assíntotas verticais.
Assíntota Horizontal:
Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Então, existe uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a primeira derivada. Primeiro, calculamos :
Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo, então o sinal de depende apenas de :
  • Se , → Função decresce.
  • Se , → Função cresce.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade usando a segunda derivada . Primeiro, derivamos :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Analisamos o sinal de :
Então:
  • Para , → Concavidade para baixo.
  • Para , → Concavidade para cima.

Passo 6

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio: exceto .
  • Assíntotas Verticais: , .
  • Assíntota Horizontal: .
  • Crescimento:
    • Cresce em .
    • Decresce em .
  • Concavidade:
    • Para , concava para baixo.
    • Para , concava para cima.
  • Pontos de Inflação e Extremos: Não há pontos de máximo ou mínimo locais, mas há pontos de inflexão em .

Resposta

O gráfico da função possui:
  • Assíntotas Verticais em e .
  • Assíntota Horizontal em .
  • A função cresce para e decresce para .
  • Concavidade para baixo quando e para cima quando .
  • Pontos de Inflexão em .
  • Não apresenta pontos de máximos ou mínimos locais.

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