Usando a definição, determine a derivada das seguintes funções: f(x) = 1/(x-1) Resposta: f'(x) = -1/((x-1)^{2})

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. A gente vai precisar entender como a derivada é definida e aplicar isso passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função no ponto é o limite da razão incremental quando tende a zero:
Esse limite representa a inclinação da reta tangente à curva de no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Primeiro, vamos calcular :

Passo 4

Em seguida, substituímos e na definição da derivada:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, unimos as frações no numerador:
Então, a expressão da derivada fica:

Passo 6

Agora, podemos simplificar o limite fazendo tender a zero:

Resposta

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