(2,0 pontos) Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e precisamos classificá-la quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Para isso, vamos usar conceitos básicos de equações diferenciais, identificando a derivada de maior ordem e observando se a equação pode ser escrita de forma linear.

Passo 2

Vamos analisar a equação dada:
Para facilitar a análise, vamos multiplicar ambos os lados da equação por :

Passo 3

Agora, observamos que a equação envolve a derivada segunda , a derivada primeira e a função . Isso nos ajuda a identificar a ordem da equação.

Passo 4

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela maior derivada presente na equação. Neste caso, a maior derivada é a segunda derivada . Portanto, a equação é de segunda ordem.

Passo 5

Para verificar a linearidade, precisamos ver se a equação pode ser escrita na forma linear padrão:
Onde , e são funções que dependem apenas de . No nosso caso, após simplificar, temos:
Aqui, os coeficientes de , e são constantes (ou seja, não dependem de ou de suas derivadas de forma não linear). Isso indica que a equação pode ser escrita na forma padrão de uma equação linear.

Passo 6

Como conseguimos escrever a equação na forma linear padrão sem nenhum termo não linear envolvendo ou suas derivadas, concluímos que a equação é linear.

Resposta

A equação é do tipo linear, de segunda ordem e linear.

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