(2,5 pontos) Considere a equação da energia abaixo:
rho Cp(u partial Tpartial x+v partial Tpartial y)=k(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2)+mu[2(partial upartial x)^2+2(partial vpartial y)^2+(partial vpartial x+partial upartial y)^2]
E definem-se as seguintes variáveis dimensionais
X=xL ; Y=yL ; U=uuinfty ; V=vuinfty ; theta=T-TinftyDe
E sabe-se que o número de Eckert é definido como:
E=uinfty^2CP De
Coloca equação da energia na forma adimensional e mostre que a dissipação viscosa de energia pode ser desprezada, se o número de Eckert for pequeno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de energia bem compleja que envolve várias variáveis como temperatura, velocidade e outras propriedades físicas. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma forma adimensional usando as variáveis dadas e mostrar que a parte da dissipação viscosa pode ser ignorada se o número de Eckert (E) for pequeno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de adimensionalização e entender o que cada termo da equação representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as variáveis dimensionais que nos foram dadas:
Essas variáveis transformam nossas dimensões físicas em números sem unidade, facilitando a análise.

Passo 3

Agora, vamos expressar as derivadas parciais em termos das variáveis adimensionais. Por exemplo:
partial Tpartial x = partial (De
Fazendo isso para todas as derivadas na equação original.

Passo 4

Substituímos todas as variáveis e suas derivadas na equação de energia:
rho Cp(uinfty U cdot De

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por U partial thetapartial X + V partial thetapartial Y = krho Cp uinfty L ( partial^2 thetapartial X^2 + partial^2 thetapartial Y^2 ) + murho Cp uinfty L De:

Passo 6

Identificamos os números adimensionais na equação. O primeiro termo à direita envolve o número de Prandtl (Pr), mas como não foi especificado, vamos focar no segundo termo, que envolve o número de Eckert (E):
E = uinfty^2Cp De
Então, o termo de dissipação viscosa fica multiplicado por .

Passo 7

Reescrevemos a equação de energia adimensionalizada:
U partial thetapartial X + V partial thetapartial Y = 1Pr ( partial^2 thetapartial X^2 + partial^2 thetapartial Y^2 ) + E [2(partial Upartial X)^2 + 2(partial Vpartial Y)^2 + (partial Vpartial X + partial Upartial Y)^2 ]

Passo 8

Observamos que o termo de dissipação viscosa está multiplicado pelo número de Eckert . Se for pequeno, isso significa que o impacto da dissipação viscosa na equação de energia é mínimo e pode ser desprezado.

Resposta

Portanto, ao colocar a equação de energia em forma adimensional, percebemos que a dissipação viscosa de energia está multiplicada pelo número de Eckert . Assim, se for pequeno, podemos desprezar a dissipação viscosa na equação de energia.

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