(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
d) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica , admitindo e .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de condução de calor no regime transiente em uma placa com espessura . A temperatura inicial da placa é dada por:
Onde:
é a temperatura máxima inicial.
A placa tem uma difusividade térmica.
A superfície em está isolada (isto é, não permite troca de calor).
A superfície em troca calor por convecção com um fluido cuja temperatura da corrente livre é .
Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada () em , e .
Para resolver isso, vamos utilizar a equação de condução de calor no regime transiente e aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Equação de Condução de Calor no Regime Transiente
A equação que descreve a condução de calor em uma dimensão é dada por:
Onde:
é a temperatura.
é o tempo.
é a posição na placa.
é a difusividade térmica.
Essa é uma equação diferencial parcial que precisamos resolver com as condições iniciais e de contorno fornecidas.
Passo 3
Condições Iniciais e de Contorno
Condição Inicial:
Condições de Contorno:
Superfície isolada em :
Isso significa que não há fluxo de calor atravessando essa superfície.
Superfície em com convecção:
Como o coeficiente de transferência de calor é muito elevado e a temperatura da corrente livre é , podemos simplificar a condição de contorno como:
Passo 4
Solução da Equação de Condução de Calor
Para resolver a equação, usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de T(x, t) = X(x) cdot Theta(t) e uma função de X(x) cdot dThetadt = alpha cdot Theta(t) cdot d^2 Xdx^2 :
1Theta dThetadt = alpha 1X d^2 Xdx^2 = -lambda
Substituindo na equação de condução de calor:
dThetadt + alpha lambda Theta = 0
Dividindo ambos os lados por d^2 Xdx^2 + lambda X = 0 :
Onde é uma constante de separação.
Isso nos dá duas equações:
Para :
Para :
Passo 5
Resolvendo para d^2 Xdx^2 + lambda X = 0
A equação diferencial para X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x) é:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Aplicando as Condições de Contorno
Superfície em dTdx|x=0 = 0 Rightarrow dXdx|x=0 Theta(t) = 0 está isolada:
dXdx|x=0 = 0
Como dXdx = -A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x) não é zero, temos:
dXdx|x=0 = B raizlambda = 0 Rightarrow B = 0
Calculando a derivada de X(x) = A cos(raizlambda x) :
T(L, t) = X(L) cdot Theta(t) = Tinfty
Aplicando A cos(raizlambda L) cdot Theta(t) = Tinfty :
raizlambda L = pi2, 3pi2, 5pi2, dots
Portanto, a solução reduz para:
lambdan = ((2n - 1)pi2L)^2, n = 1, 2, 3, dots
Superfície em com convecção:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja satisfeita para todos os , precisamos que .
Isso implica que:
Portanto:
Passo 7
Solução Completa da Temperatura
Com as constantes determinadas, a solução para T(x, t) = sumn=1^infty An cos((2n - 1)pi x2L) e^-alpha lambdan t é uma série de termos:
Onde são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.
Passo 8
Determinação dos Coeficientes T(x, 0) = T0 cos(pi x2L)