(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
d) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica , admitindo e .

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de condução de calor no regime transiente em uma placa com espessura . A temperatura inicial da placa é dada por:
Onde:
  • é a temperatura máxima inicial.
  • A placa tem uma difusividade térmica .
  • A superfície em está isolada (isto é, não permite troca de calor).
  • A superfície em troca calor por convecção com um fluido cuja temperatura da corrente livre é .
Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada ( ) em , e .
Para resolver isso, vamos utilizar a equação de condução de calor no regime transiente e aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Equação de Condução de Calor no Regime Transiente
A equação que descreve a condução de calor em uma dimensão é dada por:
Onde:
  • é a temperatura.
  • é o tempo.
  • é a posição na placa.
  • é a difusividade térmica.
Essa é uma equação diferencial parcial que precisamos resolver com as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Passo 3

Condições Iniciais e de Contorno
  • Condição Inicial:
  • Condições de Contorno:
    1. Superfície isolada em :
      Isso significa que não há fluxo de calor atravessando essa superfície.
    2. Superfície em com convecção:
      Como o coeficiente de transferência de calor é muito elevado e a temperatura da corrente livre é , podemos simplificar a condição de contorno como:

Passo 4

Solução da Equação de Condução de Calor
Para resolver a equação, usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de e uma função de :
Substituindo na equação de condução de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Onde é uma constante de separação.
Isso nos dá duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Resolvendo para
A equação diferencial para é:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Aplicando as Condições de Contorno
  1. Superfície em está isolada:
Como não é zero, temos:
Calculando a derivada de :
Aplicando :
Portanto, a solução reduz para:
  1. Superfície em com convecção:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja satisfeita para todos os , precisamos que .
Isso implica que:
Portanto:

Passo 7

Solução Completa da Temperatura
Com as constantes determinadas, a solução para é uma série de termos:
Onde são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.

Passo 8

Determinação dos Coeficientes
A condição inicial é:
Comparando com a solução geral em :
Observamos que apenas o termo contribui, portanto:
á
Portanto, a solução simplifica para:
Onde .

Passo 9

Cálculo da Temperatura na Superfície Isolada ( )
Substituindo na solução:
Calculando :
Agora, substituímos os valores:
Convertendo o tempo para segundos:
Calculando para cada tempo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A temperatura da superfície isolada em é aproximadamente:
  • Após 6 minutos:
  • Após 1 hora:
  • Após 2 horas:

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(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
c) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Mantendo as mesmas condições de contorno e a inicial. Determine a nova distribuição de temperatura .
(2,5 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superfície em é mantida isolada, e em está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a .
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= e 2 h numa placa de espessura , e difusividade térmica . é obtido sorteando um valor entre 200 e 250.
( 2,5 pontos) Considere uma lâmpada comum.
a) Calcule a temperatura da superfície da lâmpada acesa no estado estacionário.
(2,5 pontos) Considere a equação da energia abaixo:

E definem-se as seguintes variáveis dimensionais

E sabe-se que o número de Eckert é definido como:

Coloca equação da energia na forma adimensional e mostre que a dissipação viscosa de energia pode ser desprezada, se o número de Eckert for pequeno.