(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em t>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^circ C.
d) Calcule a temperatura da superfície isolada em t= 6 min, 1 e 2 h numa placa de espessura L=10 cm, e difusividade térmica alpha=10^-7 m^2 / s, admitindo T0=200^circ C e g 0=10^8 W / m^3.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com um problema de condução de calor no regime transiente em uma placa com espessura Ti = T0 cos(pi x2L) . A temperatura inicial da placa é dada por:
Onde:
  • é a temperatura máxima inicial.
  • A placa tem uma difusividade térmica .
  • A superfície em está isolada (isto é, não permite troca de calor).
  • A superfície em troca calor por convecção com um fluido cuja temperatura da corrente livre é .
Nosso objetivo é calcular a temperatura na superfície isolada ( ) em , e .
Para resolver isso, vamos utilizar a equação de condução de calor no regime transiente e aplicar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Equação de Condução de Calor no Regime Transiente
A equação que descreve a condução de calor em uma dimensão é dada por:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Onde:
  • é a temperatura.
  • é o tempo.
  • é a posição na placa.
  • é a difusividade térmica.
Essa é uma equação diferencial parcial que precisamos resolver com as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Passo 3

Condições Iniciais e de Contorno
  • Condição Inicial:
T(x, 0) = T0 cos(pi x2L)
  • Condições de Contorno:
    1. Superfície isolada em partial Tpartial x|x=0 = 0 :
      T(L, t) = Tinfty = 25^circ C
      Isso significa que não há fluxo de calor atravessando essa superfície.
    2. Superfície em com convecção:
      Como o coeficiente de transferência de calor é muito elevado e a temperatura da corrente livre é , podemos simplificar a condição de contorno como:

Passo 4

Solução da Equação de Condução de Calor
Para resolver a equação, usamos o método de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de T(x, t) = X(x) cdot Theta(t) e uma função de X(x) cdot dThetadt = alpha cdot Theta(t) cdot d^2 Xdx^2 :
1Theta dThetadt = alpha 1X d^2 Xdx^2 = -lambda
Substituindo na equação de condução de calor:
dThetadt + alpha lambda Theta = 0
Dividindo ambos os lados por d^2 Xdx^2 + lambda X = 0 :
Onde é uma constante de separação.
Isso nos dá duas equações:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Resolvendo para d^2 Xdx^2 + lambda X = 0
A equação diferencial para X(x) = A cos(raizlambda x) + B sin(raizlambda x) é:
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Aplicando as Condições de Contorno
  1. Superfície em dTdx|x=0 = 0 Rightarrow dXdx|x=0 Theta(t) = 0 está isolada:
dXdx|x=0 = 0
Como dXdx = -A raizlambda sin(raizlambda x) + B raizlambda cos(raizlambda x) não é zero, temos:
dXdx|x=0 = B raizlambda = 0 Rightarrow B = 0
Calculando a derivada de X(x) = A cos(raizlambda x) :
T(L, t) = X(L) cdot Theta(t) = Tinfty
Aplicando A cos(raizlambda L) cdot Theta(t) = Tinfty :
raizlambda L = pi2, 3pi2, 5pi2, dots
Portanto, a solução reduz para:
lambdan = ((2n - 1)pi2L)^2, n = 1, 2, 3, dots
  1. Superfície em com convecção:
Substituindo :
Para que essa igualdade seja satisfeita para todos os , precisamos que .
Isso implica que:
Portanto:

Passo 7

Solução Completa da Temperatura
Com as constantes determinadas, a solução para T(x, t) = sumn=1^infty An cos((2n - 1)pi x2L) e^-alpha lambdan t é uma série de termos:
Onde são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.

Passo 8

Determinação dos Coeficientes T(x, 0) = T0 cos(pi x2L)
A condição inicial é:
T(x, 0) = sumn=1^infty An cos((2n - 1)pi x2L) = T0 cos(pi x2L)
Comparando com a solução geral em An = T0, & se n = 1 0, & caso contrário :
T(x, t) = T0 cos(pi x2L) e^-alpha lambda1 t
Observamos que apenas o termo contribui, portanto:
á
Portanto, a solução simplifica para:
Onde .

Passo 9

Cálculo da Temperatura na Superfície Isolada ( T(0, t) = T0 cos(0) e^-alpha lambda1 t = T0 e^-alpha lambda1 t )
Substituindo lambda1 = (pi2L)^2 = (pi2 times 0,10)^2 = (pi0,2)^2 = (15,70796)^2 approx 246,7401 , m^-2 na solução:
T(0, t) = 200 , e^-10^-7 times 246,7401 times t
Calculando T(0, 360) = 200 , e^-10^-7 times 246,7401 times 360 approx 200 , e^-0,00888 approx 200 times 0,9912 approx 198,24^circ C :
T(0, 3600) = 200 , e^-10^-7 times 246,7401 times 3600 approx 200 , e^-0,08898 approx 200 times 0,9153 approx 183,06^circ C
Agora, substituímos os valores:
T(0, 7200) = 200 , e^-10^-7 times 246,7401 times 7200 approx 200 , e^-0,17796 approx 200 times 0,8363 approx 167,26^circ C
Convertendo o tempo para segundos:
Calculando para cada tempo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A temperatura da superfície isolada em é aproximadamente:
  • Após 6 minutos:
  • Após 1 hora:
  • Após 2 horas:

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