Sabendo que A B=(cc2 & -3 -1 & 0) e A C=(cc2 & -3 -6 & -5) determine $A(B+C), B^{t} A^{t}, C^{t} A^{t} e(A B A) C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes resultantes da multiplicação de com e . O conteúdo que vamos mexer aqui é Álgebra Linear, especificamente operações com matrizes como soma, multiplicação e transposição. Para resolver, vamos precisar das propriedades de distribuição da multiplicação sobre a soma e das propriedades das matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A(B + C) = AB + AC . Sabemos que a multiplicação de uma matriz por uma soma de matrizes distribui da seguinte forma:
AB = 2 & -3 -1 & 0 , AC = 2 & -3 -6 & -5
Como já temos AB + AC = 2+2 & -3+(-3) -1+(-6) & 0+(-5) = 4 & -6 -7 & -5 e A(B + C) = 4 & -6 -7 & -5 , basta somar essas duas matrizes:
Somando elemento a elemento:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular (AB)^t = B^t A^t . Uma propriedade importante das matrizes é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
AB = 2 & -3 -1 & 0 implies (AB)^t = 2 & -1 -3 & 0
Como já conhecemos B^t A^t = 2 & -1 -3 & 0 , basta calcular a transposta de :
Portanto,

Passo 4

Vamos calcular (AC)^t = C^t A^t . De forma similar ao passo anterior, usamos a propriedade das transpostas:
AC = 2 & -3 -6 & -5 implies (AC)^t = 2 & -6 -3 & -5
Sabendo que:
C^t A^t = 2 & -6 -3 & -5
Assim,

Passo 5

Por último, vamos calcular ABA = AB cdot A . Primeiro, vamos multiplicar 2 & -3 -1 & 0 pela matriz 2 & -3 -6 & -5 :
AB cdot AC = 2 & -3 -1 & 0 cdot 2 & -3 -6 & -5
Como não temos a matriz 2 cdot 2 + (-3) cdot (-6) & 2 cdot (-3) + (-3) cdot (-5) -1 cdot 2 + 0 cdot (-6) & -1 cdot (-3) + 0 cdot (-5) = 4 + 18 & -6 + 15 -2 + 0 & 3 + 0 = 22 & 9 -2 & 3 isoladamente, mas sabemos que (ABA) C = 22 & 9 -2 & 3 = e = , podemos considerar que já está dado. Portanto, para encontrar , multiplicamos por :
Fazendo a multiplicação:

[


]
Então,

Resposta

As matrizes solicitadas são:
A(B + C) &= 4 & -6 -7 & -5 B^t A^t &= 2 & -1 -3 & 0 C^t A^t &= 2 & -6 -3 & -5 (ABA) C &= 22 & 9 -2 & 3

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