Sabendo que e determine $A(B+C), B^{t} A^{t}, C^{t} A^{t} e(A B A) C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes resultantes da multiplicação de com e . O conteúdo que vamos mexer aqui é Álgebra Linear, especificamente operações com matrizes como soma, multiplicação e transposição. Para resolver, vamos precisar das propriedades de distribuição da multiplicação sobre a soma e das propriedades das matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Sabemos que a multiplicação de uma matriz por uma soma de matrizes distribui da seguinte forma:
Como já temos e , basta somar essas duas matrizes:
Somando elemento a elemento:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular . Uma propriedade importante das matrizes é que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
Como já conhecemos , basta calcular a transposta de :
Portanto,
Passo 4
Vamos calcular . De forma similar ao passo anterior, usamos a propriedade das transpostas:
Sabendo que:
Assim,
Passo 5
Por último, vamos calcular . Primeiro, vamos multiplicar pela matriz :
Como não temos a matriz isoladamente, mas sabemos que = e = , podemos considerar que já está dado. Portanto, para encontrar , multiplicamos por :