(4 pontos) Obtenha v tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e u=v times w, sendo u=(1,1,-1) e w=(2,-1,1). Em seguida, calcule o àngulo (em graus) entre u e a=(3,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! Temos que encontrar um vetor v que seja ortogonal ao eixo dos y (isso significa que ele não tem componente na direção do y) e que satisfaça a equação u = v times w, onde u = (1, 1, -1) e w = (2, -1, 1). Depois disso, vamos calcular o ângulo entre o vetor u e outro vetor a = (3, -1, 1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e produto escalar de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa v ser ortogonal ao eixo dos y. O eixo dos y é representado pelo vetor (0, 1, 0). Se v é ortogonal a esse eixo, isso significa que sua componente na direção de y é zero. Então, podemos escrever v = (vx, 0, vz), onde vx e vz são componentes que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, temos a equação u = v times w. Vamos calcular o produto vetorial v times w usando as componentes que já sabemos:
v times w = i & j & k vx & 0 & vz 2 & -1 & 1
Calculando o determinante:
v times w = i(0 cdot 1 - vz cdot (-1)) - j(vx cdot 1 - vz cdot 2) + k(vx cdot (-1) - 0 cdot 2)
Simplificando:
v times w = (vz) i - (vx - 2vz) j - vx k
Isso deve ser igual a u = (1, 1, -1).

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
vz = 1 -(vx - 2vz) = 1 - vx = -1
Vamos resolver essas equações uma a uma.

Passo 5

Da terceira equação: -vx = -1 Rightarrow vx = 1.
Da primeira equação: vz = 1.
Agora, vamos verificar a segunda equação para garantir que está tudo certo:
-(vx - 2vz) = -(1 - 2 cdot 1) = -(1 - 2) = -(-1) = 1
Está correto!

Passo 6

Então, encontramos que v = (vx, 0, vz) = (1, 0, 1).

Passo 7

Agora, precisamos calcular o ângulo entre u = (1, 1, -1) e a = (3, -1, 1). Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar:
u cdot a = |u| cdot |a| cdot cos(theta)
Onde:
  • u cdot a é o produto escalar dos vetores.
  • |u| e |a| são os módulos dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular o produto escalar u cdot a:
u cdot a = (1)(3) + (1)(-1) + (-1)(1) = 3 - 1 - 1 = 1

Passo 9

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
|a| = raiz3^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz9 + 1 + 1 = raiz11

Passo 10

Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
1 = raiz3 cdot raiz11 cdot cos(theta)
Para encontrar cos(theta):
cos(theta) = 1raiz3 cdot raiz11 = 1raiz33

Passo 11

Finalmente, para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(1raiz33)
Calculando isso:
theta approx arccos(0,1741) approx 80^circ

Resposta

O vetor v é (1, , 0, , 1) e o ângulo entre u e a é aproximadamente 80^circ.

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