(4 pontos) Obtenha tal que seja ortogonal ao eixo dos y e , sendo e . Em seguida, calcule o àngulo (em graus) entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui! Temos que encontrar um vetor que seja ortogonal ao eixo dos y (isso significa que ele não tem componente na direção do y) e que satisfaça a equação , onde e . Depois disso, vamos calcular o ângulo entre o vetor e outro vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e produto escalar de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo dos y. O eixo dos y é representado pelo vetor . Se é ortogonal a esse eixo, isso significa que sua componente na direção de y é zero. Então, podemos escrever , onde e são componentes que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, temos a equação . Vamos calcular o produto vetorial usando as componentes que já sabemos:
Calculando o determinante:
v times w = i(0 cdot 1 - vz cdot (-1)) - j(vx cdot 1 - vz cdot 2) + k(vx cdot (-1) - 0 cdot 2)
Simplificando:
v times w = (vz) i - (vx - 2vz) j - vx k
Isso deve ser igual a u = (1, 1, -1).
Passo 4
Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
vz = 1 -(vx - 2vz) = 1 - vx = -1
Vamos resolver essas equações uma a uma.
Passo 5
Da terceira equação: -vx = -1 Rightarrow vx = 1.
Da primeira equação: vz = 1.
Agora, vamos verificar a segunda equação para garantir que está tudo certo: