Pontos críticos em x = 0 e x = +- 1 / raiz(2). O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto: f(+- 1 / raiz(2)) = -1 / 4. Não há máximo absoluto, pois f(x) -> +infinito com x -> +-infinito. A função é crescente em -1 / raiz(2) <= x <= 0 e decrescente em -infinito < x <= -1 / raiz(2) e 0 <= x <= 1 / raiz(2).

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar uma função matemática para encontrar seus pontos críticos, determinar onde ela tem máximos e mínimos, verificar o comportamento dela quando vai para mais ou menos infinito, e descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (que nos dá os pontos críticos) e analisar o sinal da derivada para determinar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função são os valores de onde a derivada da função, , é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser onde a função atinge máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Vamos supor que já calculamos a derivada da função e encontramos que os pontos críticos são em e . Esses são os valores onde a inclinação da função é zero, ou seja, a funç��o para de crescer ou decrescer nesses pontos.

Passo 4

Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Se a segunda derivada for negativa em um ponto crítico, então a função tem um máximo relativo ali. Se for positiva, temos um mínimo relativo.

Passo 5

Aplicando isso aos nossos pontos críticos:
  • Em , a segunda derivada é negativa, então é um ponto de máximo relativo.
  • Em , a segunda derivada é positiva, então são pontos de mínimo absoluto da função.

Passo 6

Em seguida, vamos analisar o comportamento da função quando tende para mais ou menos infinito. Observamos que quando . Isso significa que a função não tem um máximo absoluto global, já que ela continua aumentando sem limites quando cresce ou decresce indefinidamente.

Passo 7

Por último, vamos determinar onde a função está crescente e decrescente. Olhando para os pontos críticos:
  • A função é crescente no intervalo porque a derivada é positiva nesse intervalo.
  • E é decrescente nos intervalos e porque a derivada é negativa nesses trechos.

Resposta

A função tem pontos críticos em (máximo relativo) e (mínimos absolutos com ). Não há máximo absoluto, já que quando . A função é crescente no intervalo e decrescente em e .

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