Pontos críticos em
e
. O primeiro é de máximo relativo e os outros dois são de mínimo absoluto:
. Não há máximo absoluto, pois
. A função é crescente em
e decrescente em
e
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa analisar uma função matemática para encontrar seus pontos críticos, determinar onde ela tem máximos e mínimos, verificar o comportamento dela quando
vai para mais ou menos infinito, e descobrir em quais intervalos a função está crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções. Vamos precisar entender como calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (que nos dá os pontos críticos) e analisar o sinal da derivada para determinar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos críticos de uma função são os valores de
onde a derivada da função,
, é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser onde a função atinge máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Vamos supor que já calculamos a derivada da função e encontramos que os pontos críticos são em
e
. Esses são os valores onde a inclinação da função é zero, ou seja, a funç��o para de crescer ou decrescer nesses pontos.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada. Se a segunda derivada
for negativa em um ponto crítico, então a função tem um máximo relativo ali. Se for positiva, temos um mínimo relativo.
Passo 5
Aplicando isso aos nossos pontos críticos:
- Em
, a segunda derivada é negativa, então é um ponto de máximo relativo. - Em
, a segunda derivada é positiva, então são pontos de mínimo absoluto da função.
Passo 6
Em seguida, vamos analisar o comportamento da função quando
tende para mais ou menos infinito. Observamos que
quando
. Isso significa que a função não tem um máximo absoluto global, já que ela continua aumentando sem limites quando
cresce ou decresce indefinidamente.
Passo 7
Por último, vamos determinar onde a função está crescente e decrescente. Olhando para os pontos críticos:
- A função é crescente no intervalo
porque a derivada é positiva nesse intervalo. - E é decrescente nos intervalos
e porque a derivada é negativa nesses trechos.
Resposta
A função tem pontos críticos em
(máximo relativo) e
(mínimos absolutos com
). Não há máximo absoluto, já que
quando
. A função é crescente no intervalo
e decrescente em
e
.